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3_Fields-Maxwell’s_Equations

3
场——麦克斯韦方程组
3.1
场
前一章的基本物理要素是空间和时间，以及一组运动的物体。这些物体被当作粒子来处理，位于有限个点上，它们之间的空间中不存在任何物理的东西。空间是完全空虚的，但尽管如此，粒子之间仍存在相互作用。这被称为超距作用(action at a distance)。
然而，从早期开始，人们就认为粒子之间没有任何物理介质就能相互作用是相当难以置信的。勒内·笛卡尔(René Descartes)等人提出，唯一合理的假设是力通过直接接触或通过占据粒子之间空间的流体来传递。现代的观点是，空间中充斥着各种不同类型的场，而这些场正是粒子所受势能和力的原因。起初，力的场描述被看作是牛顿超距作用的一种数学重构，或许只是一种物理虚构——但后来人们意识到，场遵循其自身的动力学方程，而且有可能在某些大范围的空间中，即便没有任何粒子，动力学场也可以存在。
这一方法的重大突破来自詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(James Clerk Maxwell)对电场和磁场的处理。在此之前，这些场一直仅与电荷和电流联系在一起，但麦克斯韦方程组还允许在没有源的情况下存在动力学的电场和磁场。这些可以被解释为光波。光显然是物理的，因此场也是物理的。
如今，场在物理学思想中占据着核心地位。我们相信空间中处处充满着大量不同类型的场。除了电磁场，还有杨-米尔斯规范场(Yang–Mills gauge fields)和希格斯场(Higgs fields)。即便是电子这样最具代表性的粒子，也有一个与之相关的场，称为狄拉克场(Dirac field)。这些场都是动力学的。当场向粒子传递力时，它们携带着能量和动量，这些能量和动量会发生变化。还有一种引力场，我们可以用它来重新表述前一章所讨论的引力。最引人注目的是，爱因斯坦(Einstein)证明，唯一能自洽地动力学描述引力场的方式，就是将其解释为时空几何本身的形变。
因此，通过场，粒子、粒子之间的力以及时空的底层几何实现了物理上的统一。一个尚未完全实现的梦想是，所有物理现象都源于一个纯粹几何的场论。
场的通常概念是一块长着东西的土地。以此类推，物理学家们，从迈克尔·法拉第(Michael Faraday)开始，采纳了这个术语，而它也不算太糟。当庄稼生长时，它们具有随地点而变化的属性。对于大范围

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场——麦克斯韦方程组
S
N
图3.1 磁体周围的磁场。

与其关注单个植物的数量，我们可以考察平均量，例如植物的密度。这就是单位面积上的植物数量，本质上是一个在空间和时间上都连续变化的量。植物的平均高度是另一个在空间和时间上连续变化的量。农民可能追求均匀的植物密度和均匀的高度，但更常见的是，这些量会随空间变化。高度肯定会随时间变化。

在物理学中，场的意义就类似于上面描述的量——植物密度和高度。场是在空间和时间中变化的物理量。它们通常是光滑函数，这意味着我们可以对空间和时间变量进行任意次数的微分。场不仅仅是空间和时间的数学函数，因为它具有某种物理实在性。场与函数之间的关系，类似于粒子轨迹与几何曲线之间的关系。

物理学中场的最早例子出现在对流体的描述中。我们现在知道流体由无数粒子——原子或分子构成，但它们在我们看来如同连续的物质。关键的量是密度，即单位体积流体的质量，以及流体速度。通常假设流体速度存在于流体中的每一点，并且在点与点之间平滑变化。因此，速度是一个定义在流体所占据的整个区域上的函数v(x, t)，同样地，密度是函数ρ(x, t)。ρ在每个点只有一个值，并且不受空间坐标轴旋转的影响。这样的量被称为标量场。流体速度是一个矢量场。

在本章中，我们将首先讨论标量场，利用最小作用量原理（principle of least action）来寻找其动力学方程。标量场方程可以用来描述声波。然后，我们讨论电场和磁场，以及它们的动力学方程——麦克斯韦(Maxwell)方程组。静磁场是相当熟悉的。我们可以通过撒在覆盖磁体的纸上的铁屑的排列，来直观地看到磁体周围的场，如图3.1所示。之后，我们将考虑带电粒子和电……

电流作为电场和磁场的源，以及带电粒子在受到场影响时的运动方程。电流归根结底是由运动带电粒子引起的，但通常将其视为独立概念更为方便。麦克斯韦方程组最重要的解之一是描述光的电磁波。

电磁场与众多带电粒子相互作用的动力学框架，接近于成为所有电磁现象的一个完整且自洽的理论。场和粒子的动力学方程可以从单一的最小作用量原理(principle of least action)推导出来。然而，有几个问题需要进一步探讨。其一是需要对以接近光速高速运动的粒子修改牛顿运动方程。我们将在第四章狭义相对论中处理此问题。第二个问题是将带电粒子理想化为点粒子。如果粒子经历非常大的加速度并辐射大量能量，这就会产生问题。此时点粒子的运动方程就不明确了。实验上的指导还无法获得，因为这种加速度需要极强的电场或磁场，而这在实验室环境中尚未实现。

人们很想将牛顿引力场当作标量场来讨论——但这只是一种近似，将引力作为动力学理论的唯一自洽处理是通过爱因斯坦的广义相对论方程，因此我们将引力的进一步讨论推迟到第六章。量子化场论及其与基本粒子物理学的关系将在第十二章讨论。

3.2 标量场方程

标量场比电磁场简单。它是一个单分量实函数 ψ(x, t)，在整个空间有定义。给定时刻的场称为场位形，场的动力学演化可以看作是场位形（无限维）空间中的一条光滑轨迹。需要为连接初始时刻 t0 的给定位形 ψ(x, t0) 和最终时刻 t1 的位形 ψ(x, t1) 的任意场轨迹定义作用量 S。通过对 S 应用最小作用量原理，我们可以推导出动力学标量场方程，这是一种波动方程。

与粒子类似，拉格朗日量 L 是动能和势能的组合。动能是 ψ 的时间偏导数的平方的一半，并对空间积分，
K = ∫ 1/2 (∂ψ/∂t)^2 d^3x. (3.1)
（本章中，空间积分均在全三维空间 R^3 上进行。）K 类似于单位质量粒子的动能，但因为它是对空间的积分，所以所有空间点的场都有贡献。K 不受坐标轴旋转或原点平移的影响。换句话说，K 具有欧几里得不变性。

势能的选择余地更大。一个可能的贡献是 ψ 的某个函数的积分，我们记为 U(ψ)。由于 ψ 是 x 的函数，更精确的写法是 U(ψ(x))，并对其积分。U 可以是任何熟悉的函数，例如正弦函数或指数函数，但在三维空间中通常取为 ψ 的多项式。这一贡献类似于粒子的势能 V(x)。场的另一个特征是它的梯度 ∇ψ，包含了它的空间偏导数。这给出了第二个

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场——麦克斯韦方程组
可能的贡献，即对空间积分 \frac{1}{2}c^2\nabla\psi \cdot \nabla\psi ，其中 c 是一个非零常数。
那么总势能为
[
V = \int \left{ \frac{1}{2}c^2\nabla\psi \cdot \nabla\psi + U(\psi) \right} d^3x,
\tag{3.2}
]
而这同样是欧几里得不变的。注意 V 只依赖于每一时刻的场位形，这就是为什么它被称为势能。人们还可以考虑 V 中的其他项，例如，ψ 的梯度的更高次幂。涉及不同位置 ψ 的乘积并对空间积分的贡献称为非定域项——它们会导致这样的动力学方程：某一点的场演化会在其他点产生瞬时效应，从而否定了我们引入场的理由。因此我们不允许它们出现。引入场的主要动机之一是物理信号应以有限速度传播，以避免超距作用。

我们需要谈一谈函数 U 的整体形状以及边界条件。要得到一个令人满意的稳定场论，U(ψ) 应在某个有限的 ψ 值处取极小值。在本章中，我们将假设 U 在 ψ=0 处有唯一的极小值。这类函数的例子有 U(ψ)=\frac{1}{2}\mu^2\psi^2（μ 非零）和 U(ψ)=\frac{1}{2}\mu^2\psi^2+\frac{1}{4}\nu\psi^4（ν 为正）。极小值在 ψ 的另一值处的理论本质上是等价的，因为通过场的重定义 ψ→ψ+常数，极小值可以被移到 ψ=0。我们将假设 U 的极小值为零，就像在这两个例子中那样。这确保了对于场位形 ψ=0，总势能为零而非无穷大。最后，我们施加边界条件：当 |x|→∞ 时，ψ→0。换言之，在空间无穷远处，场使 U 极小化，且势能密度消失。在任何有限点 x 处，只要 ψ≠0 或梯度非零，势能密度为正。

位形 ψ=0 处处存在于空间且对全部时间成立，这称为经典真空。场依然处处存在于时空中，但它的势能和动能都为零，即可能的最小值。这样的场不携带能量或动量。

标量场 ψ 的总作用量 S 是拉格朗日量 L=K-V 对时间的积分，即
[
S = \int_{t_0}^{t_1} \int \left{ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial\psi}{\partial t} \right)^2 - \frac{1}{2}c^2\nabla\psi \cdot \nabla\psi - U(\psi) \right} d^3x , dt.
\tag{3.3}
]
被积函数，即花括号内的量，称为拉格朗日密度，记作 \mathcal{L}(x,t)。它只依赖于 (x,t) 处的场值，以及 (x,t) 的一个无穷小邻域内的场值，这些场值贡献了时间和空间导数。因此 \mathcal{L} 被称为是定域的。拉格朗日量 L 是 \mathcal{L} 对空间的积分，再对时间积分一次就得到作用量。

最小作用量原理决定了场的动力学。ψ 的场方程就是 S 取驻值的条件，而要找到这个条件我们需要使用变分法。让我们固定初始时刻 t_0 和最终时刻 t_1 的场位形，并假设 S 对某条轨迹 ψ(x,t)=\Psi(x,t) 取驻值，其中 \Psi 满足边界条件 \Psi\to0 当 |x|\to\infty，以及给定的 t_0 和 t_1 处的端点条件。现在考虑场的变分 ψ(x,t)=\Psi(x,t)+h(x,t)，并保持边界条件。

标量场方程
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以及端点条件，并要求 $S$ 在 $h$ 的一阶近似下保持不变。对于 $S$ 中的第一项和第三项，计算与导出粒子运动的方程 (2.31) 基本相同。对于第二项，我们需要使用展开式
[
\frac{1}{2}c^2 \nabla \psi \cdot \nabla \psi = \frac{1}{2}c^2 \nabla \Psi \cdot \nabla \Psi + c^2 \nabla \Psi \cdot \nabla h
\tag{3.4}
]
（只保留到 $h$ 的一阶项）。方程 (2.31) 的类似形式为
[
S_{\Psi+h} = S_{\Psi} + \int_{t_0}^{t_1} \int \left{ \frac{\partial \Psi}{\partial t} \frac{\partial h}{\partial t} - c^2 \nabla \Psi \cdot \nabla h - U’(\Psi) h \right} d^3x , dt .
\tag{3.5}
]
在时间方向和空间方向上进行分部积分，将含有 $h$ 的导数的项转化为仅依赖于 $h$ 的项。边界项和端点项全部消失，得到结果
[
S_{\Psi+h} = S_{\Psi} + \int_{t_0}^{t_1} \int \left{ -\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} + c^2 \nabla^2 \Psi - U’(\Psi) \right} h , d^3x , dt .
\tag{3.6}
]
由于 $\Psi$ 使 $S$ 取驻值，对于任意变分 $h(x, t)$，$S_{\Psi+h}$ 必须等于 $S_{\Psi}$，因此乘以 $h$ 的花括号内的量必须处处为零。这就给出了场方程（我们用场 $\psi$ 而非 $\Psi$ 来写出）
[
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \psi + U’(\psi) = 0 .
\tag{3.7}
]
对于一般的函数 $U$，这个偏微分方程是一个非线性波动方程，求解起来很困难。重要的是，作用量中的梯度项并非可有可无；如果没有它，场在每个空间点上将完全独立地演化。

由于作用量 $S$ 在所有欧几里得对称性下保持不变，因此存在多个守恒量。场有守恒动量，也有守恒角动量。它们都是某些密度在空间上的积分，这些密度依赖于场的时间和空间导数。也存在守恒能量，它简单地就是 $E = K + V$，换句话说
[
E = \int \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)^2 + \frac{1}{2} c^2 \nabla \psi \cdot \nabla \psi + U(\psi) \right) d^3x .
\tag{3.8}
]

在最简单的标量场理论版本中，$U$ 不存在。这在物理上是可以接受的，并且仍然可以施加 $\psi$ 在空间无穷远处为零的边界条件。方程 (3.7) 于是简化为线性波动方程
[
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \psi = 0 .
\tag{3.9}
]

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3.3
波
波动方程 (3.9) 的基本解是一个三维平面波，形式为
[
\psi(x, t) = e^{i(k \cdot x - \omega t)} ,
\tag{3.10}
]
其中 $k$ 是波矢，$\omega$ 是（角）频率。波长为 $\frac{2\pi}{|k|}$。对于任一与 $k$ 正交的空间平面上的所有 $x$（在固定时刻），$\psi$ 的相位满足
[
k \cdot x - \omega t = \text{常数} ,
\tag{3.11}
]
这就是它被称为平面波的原因。方程 (3.9) 中对时间的二阶导数从 $\psi$ 的指数中拉下两个 $-i\omega$ 因子，即一个 $-\omega^2$ 因子，而拉普拉斯算子 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_3^2}$ 拉下 $-k_1^2 - k_2^2 - k_3^2 = -k \cdot k = -|k|^2$，因此平面波 (3.10) 满足线性波动方程，只要
[
\omega^2 = c^2 |k|^2 .
\tag{3.12}
]
因此 $k$ 是任意常矢量，但 $\omega$ 必须取 $c|k|$ 或 $-c|k|$。平面波如图 3.2 所示。

平面波的速度 $c$ 由以下条件决定：在一点 $x$ 以速度 $c$ 沿 $k$ 的方向移动时，波的相位在时间上保持不变。将方程 (3.11) 对时间求导，并令 $\frac{dx}{dt} = c$，我们得到 $k \cdot c - \omega = 0$。所以波速 $|c|$ 为 $\frac{|\omega|}{|k|}$，这正是作用量和场方程中的参数 $c$。波速与频率和波矢的方向均无关。
[
\text{k} \quad \frac{2\pi}{|k|}
]
图 3.2 平面波。

波
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基本的平面波解不是实的，也不满足在空间无穷远处为零的边界条件——但由于波动方程是线性的，其通解是基本解（ω = ±c|k|）的线性叠加，形式为
ψ(x, t) =
∫ ［
C(k)e^{i(k·x−c|k|t)} + D(k)e^{i(k·x+c|k|t)}］
d³k .
(3.13)
通过对复函数 C(k) 和 D(k) 施加适当的约束，ψ 变为实的并满足边界条件。在 ψ 作为 x 的函数与 C 和 D 作为 k 的函数之间进行变换，是傅里叶变换(Fourier transform)的一个例子。

对于一维空间中的线性波动方程，存在一个相当优美的通解，只要所有贡献波矢 k 都沿同一方向，该解也可用于三维波动。在一维情形下，坐标为 x 和 t，波动方程为
∂²ψ/∂t² − c² ∂²ψ/∂x² = 0 .
(3.14)
这可以写成因式分解形式
( ∂/∂t + c ∂/∂x ) ( ∂/∂t − c ∂/∂x ) ψ = 0 ,
(3.15)
如果需要，因子的顺序可以交换。第二个算子作用于任何 x + ct 的函数时结果为零，因为
∂/∂t f(x + ct) = c f’(x + ct) = c ∂/∂x f(x + ct) ,
(3.16)
而第一个算子作用于任何 x − ct 的函数时结果为零。因此，波动方程(3.14)的通解为
ψ(x, t) = f(x + ct) + g(x − ct)
(3.17)
其中 f 和 g 是任意（光滑）函数。这些函数由初始数据确定：即 t = 0 时的 ψ 和 ∂ψ/∂t。

函数 f(x + ct) 在 t 增加 a 同时 x 减少 ca 时保持不变。因此，该函数是一个以速度 c 沿负 x 方向移动的波形。类似地，g(x − ct) 是一个以速度 c 沿正 x 方向移动的波形。这些波分别称为左行波(left-moving)和右行波(right-moving)。如果初始波局域在空间的某个有限区间内，外部为零，那么它是左行波和右行波的某种组合，随着时间的推移，这些波会分离开来。在两列分离的波之间的场值是均匀且恒定的，但不一定为零。

构造一个纯单向传播（比如右行）的波是很容易的。这正是描述定向闪光的一类波，其贡献波矢沿光束方向，波前与光束正交。只要光束宽度远大于波长，一维近似就是合理的。

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场——麦克斯韦方程组
三维标量波动方程的另一种形式也值得一提。假设函数 U 不为零，而是具有形式 U(ψ) = 1/2 μ²ψ²。此时的场方程仍然是线性的，被称为克莱因-戈登方程 (Klein–Gordon equation)，即
∂²ψ/∂t² − c²∇²ψ + μ²ψ = 0 。
(3.18)
如前所述，平面波解具有指数形式 (3.10)，但 ω 与波矢 k 的关系变为
ω² = c²|k|² + μ² 。
(3.19)
此时波具有一个最小频率 ω = μ，且波速依赖于频率。同样可以利用傅里叶分析 (Fourier analysis) 来理解具有局域、实轮廓的更一般的解。

标量场理论有一些应用，其中之一是声波。气体的密度是一个标量。密度的小扰动 ψ 可由作用量 (3.3) 在 U 为零时描述。恒定的均匀平衡密度并不出现，因为作用量中的两项都涉及导数。（S 前还有一个总的常数因子，但这不影响场方程。）此时波动方程 (3.9) 就是声波所满足的方程，c 是声速。c 取决于气体的压缩率及其平衡密度。

在粒子物理的背景下考虑相对论性标量场时，克莱因-戈登方程还会再次出现。

3.4 散度与旋度
在三维空间中，我们已经看到将三个偏导数组合成一个矢量算符会很方便：
∇ = ( ∂/∂x₁ , ∂/∂x₂ , ∂/∂x₃ ) 。
(3.20)
它作用在标量场 ψ 上给出梯度 ∇ψ。

∇ 可以用两种几何上自然的方式作用在矢量场 V(x) = (V₁(x), V₂(x), V₃(x)) 上，类似于两种乘积 x · y 和 x × y。第一种是 ∇·V，称为 V 的散度，或记作 div V；第二种是 ∇×V，称为 V 的旋度，或记作 curl V。在坐标轴转动下，∇ 和 V 的分量以相同的方式旋转，因此 ∇·V 是标量，在转动下不变，而 ∇×V 是矢量，随 V 及其他矢量一同旋转。

具体地，V 的散度定义为
∇·V = ∂V₁/∂x₁ + ∂V₂/∂x₂ + ∂V₃/∂x₃ 。
(3.21)
注意与点积定义 (1.12) 的类比。由于 ∇·V 是 x 的函数，它是一个标量场。如果某区域中 ∇·V 为正，则该区域是 V 的源，V 倾向于向外指；如果 ∇·V 为负，则 V 倾向于向内指。

旋度 ∇×V 的定义为
∇×V = ( ∂V₃/∂x₂ − ∂V₂/∂x₃ , ∂V₁/∂x₃ − ∂V₃/∂x₁ , ∂V₂/∂x₁ − ∂V₁/∂x₂ ) 。
(3.22)
同样，注意与叉积定义 (1.15) 的类比。∇×V 是一个具有三个分量的矢量场，它是 V 如何环流的一个量度。

关于一般矢量场的散度和旋度的几个结果对我们很重要。首先，如果 V 可以表示为某个标量场 Φ 的 −∇Φ，那么 ∇× V = −∇× ∇Φ = 0。（负号可以被吸收进 Φ 中，但明确写出来可以与力与势之间的关系 F = −∇V 联系起来。）这很容易验证。例如，∇× V 的第一个分量为
−∂/∂x₂ ∂Φ/∂x₃ + ∂/∂x₃ ∂Φ/∂x₂,
(3.23)
由于混合偏导数的对称性，其为零。一个更深刻的结果是其逆命题：如果在某个（单连通的）空间区域中 ∇× V = 0，那么在该区域内存在一个标量场 Φ 使得 V = −∇Φ，并且 Φ 除了可以加上一个常数外是唯一的。

其次，如果 V 可以表示为某个矢量场 W 的 ∇× W，那么 ∇· V = 0。这也容易验证，因为
∇· (∇× W) = ∂/∂x₁ (∂W₃/∂x₂ − ∂W₂/∂x₃) + ∂/∂x₂ (∂W₁/∂x₃ − ∂W₃/∂x₁) + ∂/∂x₃ (∂W₂/∂x₁ − ∂W₁/∂x₂) = 0 .
(3.24)
结果为零，因为由混合偏导数的对称性，各项成对地抵消。同样，其逆命题更为深刻：如果在某个区域内 ∇· V = 0，则存在一个矢量场 W 使得 V = ∇× W。这个场 W 除了可以加上一个标量的梯度 ∇λ（其旋度恒为零，因此对 V 没有贡献）外是唯一的。如果想要确定 W，可以施加进一步的条件，比如 ∇· W = 0，但这并非总是可取的。

在麦克斯韦理论中有两个矢量场，电场 E 和磁场 B。我们会看到 ∇· B 总是为零，因此 B 可以表示为 ∇× A。A 被称为矢量势。∇× E 有时为零，如果是这样，E 可以表示为 −∇Φ。Φ 被称为标量势。即使当 ∇× E 不为零时，也存在一个起着重要作用的标量势。

3.5 电磁场与麦克斯韦方程组
许多电和磁的现象自古以来就为人们所知。这些现象包括通过摩擦琥珀和其他材料产生的静电、被称为磁石的天然磁性岩石、电鳗等生物产生的电击，以及闪电现象。然而，理解这些形形色色的现象并认识到它们之间的联系花了很长时间。一个早期突破是18世纪中叶本杰明·富兰克林(Benjamin Franklin)认识到物体可以带电，并且电荷可以是正或负。第二个根本性突破是1800年亚历山德罗·伏打(Alessandro Volta)发明了电池，因为这为研究者们提供了现成的电力用于实验，而对这种电池产生的电流的研究表明，电流是电荷的流动。

下一个重大发现是1820年汉斯·克里斯蒂安·奥斯特(Hans Christian Ørsted)发现的电与磁之间存在联系的暗示。奥斯特观察到导线中流动的电流对附近磁罗盘的影响，如图3.3所示。这个微小的效应最终导致了科学史上最伟大的统一之一——电磁学理论。沿着这条路的一个关键概念步骤是迈克尔·法拉第(Michael Faraday)的提议

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场——麦克斯韦方程组
图3.3 导线周围的磁场。
通过设定整个空间中存在着电场E和磁场B，能够最好地描述电现象和磁现象。它们都是矢量，分量为E = (E₁, E₂, E₃)和B = (B₁, B₂, B₃)，并且是位置x和时间t的函数。E和B可以通过检验电荷和检验磁体来测量（见图3.4）。若在点x处放置一个电荷q，它会受到大小为qE的电场力。若在点x处放置一个小磁体，它会沿B的方向排列，而B的强度会影响这一过程发生的快慢。更精确地说，作用在磁体上的力矩或扭转力正比于B的强度。我们假定即使移除了检验装置，E和B依然存在。尽管这一观点曾引发争议，但其强大的解释力最终消除了怀疑论者的疑虑。

q
E
B
图3.4 电场力与磁场力。

一个棘手的问题是如何将检验电荷自身产生的场纳入总场之中。如果检验电荷很小但并非无穷小，它会对总场有所贡献。然而，在大多数情况下，这种贡献可以忽略不计，影响检验电荷的实际上是由所有其他电荷和电流产生的场。只有当检验电荷以极高的加速度运动时，我们才需要担心检验电荷与其自身场之间的相互作用。

电磁场与麦克斯韦方程组 77
要理解像导电金属这类材料内部的场也相当困难。我们现代对材料的看法使问题简化了。材料内部有各种带电粒子在其中运动。因此，从根本上说，我们需要一个关于 E 和 B 以及它们与运动点粒子相互作用的理论。宏观介质（如导体、介电绝缘体或铁磁体）的场方程，可以通过对其组成粒子所产生的场进行平均来得到。

基于一个多世纪以来众多科学家的实验工作，如查尔斯·库仑(Charles de Coulomb)、让-巴蒂斯特·毕奥(Jean-Baptiste Biot)和菲利克斯·萨伐尔(Félix Savart)、奥斯特(Ørsted)、安德烈-马里·安培(André-Marie Ampère)，尤其是法拉第(Faraday)，麦克斯韦(Maxwell)找到了 E 和 B 所满足的方程的最终形式。这些场的源是电荷密度 ρ 和电流密度 j，它们都是 x 和 t 的函数。麦克斯韦以分量形式写下了他的方程组，因此在 1865 年他关于电磁学的决定性论文中，共有 20 个方程。后来，奥利弗·亥维赛(Oliver Heaviside)[^1]于 1884 年使用向量表示法将其改写为更简洁优美的形式。通常所知的麦克斯韦方程组就是以这种形式呈现的。它们是
∇· E

ρ , (3.25)
∇× E

−∂B
∂t , (3.26)
∇· B

0 , (3.27)
∇× B

j + ∂E
∂t . (3.28)

麦克斯韦方程组 (3.25)–(3.28) 通常包含常数参数 ε0 和 µ0。我们选择了亥维赛-洛伦兹单位制(Heaviside–Lorentz system of units)，在该单位制中这两个常数都为 1。即使在这种单位制中，光速 c 通常也会出现在方程中，但我们进一步选择了使用时空单位，其中 c = 1。这不是标准的国际单位制(SI)，但我们的选择极大地简化了数学，并且在讨论相对论和量子场论时最为有用。（对此感到不适的读者应查阅许多讨论单位制的电磁学教材，并使用国际单位制。）

电荷单位是根据相距单位距离的两个电荷之间的电力来定义的。电流单位是根据相隔单位距离的两条平行载流导线之间的磁力来定义的。由于电流由运动电荷组成，问一下运动电荷所受磁力与电力之比是合理的，如图 3.5 所示。在什么速度下这两种力大小相当？答案是电磁理论中作为一个基本参数出现的速度。这个速度原来就是光速。

将光速设为 1 有充分的理由。历史上，时间和长度单位是基于地球定义的，通过一个时钟将一秒测量为一日的 1/86,400。保存在巴黎的一根金属棒被用作定义一米长度的标准。该棒的长度大约是北极到赤道距离的 10−7 倍。那时光速是一个需要测量的量，随着实验技术的改进，其数值逐年变化。更近一些，人们决定根据特定原子能级跃迁所发射光子的频率来定义时间单位，并根据光的波长来定义长度单位。

[^1]: 大约在同一时期，海因里希·赫兹(Heinrich Hertz)和约西亚·威拉德·吉布斯(Josiah Willard Gibbs)也做了同样的工作。

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场——麦克斯韦方程组
q
FE
FE
FB
FB
q
图3.5 运动电荷产生场和力。

相同的光子。因此，现在约定光速的值为精确的 c = 299,792,458 m s−1，这个整数给出了与历史上米和秒的概念最吻合的数值。由于 c 是一个纯整数，没有基本意义，因此将其设为 c = 1 更为合理。时间单位仍可视为秒(s)，但长度单位现在是光秒，精确等于 299,792,458 m。

这样做也有其物理依据。我们通常不会选择长度和时间单位使得气体中的声速为 1；这是因为声速并不具有普适性，而是依赖于气体的成分和温度。然而，现在人们知道真空中的光速是普适的。它不依赖于波长，因此所有光子和其它质量可以忽略的基本粒子（如中微子）本质上以相同的速度运动。粒子物理学中的所有场方程以及狭义和广义相对论的公式都使用相同的因子 c 来关联长度和时间，所以将这个普适因子设为 1 是合理的。正是爱因斯坦(Einstein)最早洞察到光速是终极速度极限，因而是一个特殊的量。

3.5.1 麦克斯韦方程组告诉我们什么

有些电磁学教材会花许多章节讨论启发麦克斯韦方程组的现象。另一些则从这些方程开始，花许多章节求解它们并探索其推论。这里我们将简要概述每个方程告诉我们的信息，尽管实际上需要将所有方程放在一起考虑才能得出这些结论。

第一个方程 ∇·E = ρ 表明，电荷密度 ρ 是电场 E 的源。如果 ρ 为正，则 E 的方向从源指向外，并且强度随着远离源而减弱。电荷密度可以局域在一个点上，这便建立了带电点粒子模型。

第三个方程 ∇·B = 0 表明，不存在与电荷密度类似的磁对应物，因此没有通常称为磁单极子的带磁粒子。磁场 B 的行为类似于不可压缩流体的速度 v，它满足 ∇·v = 0，没有源或汇。事实上，在任何完整的闭合曲面上，B 的净向外通量为零。像条形磁铁这样的磁偶极子，可能看起来两端具有强度相反而极性相反的磁极，但实际上 B 是循环的，通过从

电磁场与麦克斯韦方程组(Maxwell’s equations)

磁体产生的磁场B的场线，从磁体一端经由外部空间到达另一端，再穿过磁体材料返回。若非如此，将磁体掰成两半，其中一半就会成为磁通量的源，另一半则成为汇。事实上，磁体所产生的B场的源头，是磁体材料中存在的电流j，而非磁体两端附近的磁极。

第二个麦克斯韦方程，∇× E = −∂B∂t，表明在磁场B随时间变化的任何区域，E都会环绕该区域形成环流。设C为一条固定的闭合曲线，它包围一个曲面，该曲面有B的通量穿过。当通量增减时，便会产生一个电场E，该电场往往沿着C的某一取向。如果几何曲线C被替换为一根实实在在的导线，那么电场就会在导线中产生电流。这就是法拉第电磁感应定律(Faraday’s law of induction)，如图3.6所示。它是发电的基础。在发电站，机械动力驱动磁体（实际上是电磁体）运动，时变磁场生成电流，电流随后沿电缆远距离输送，供我们所有的电气机械和装置使用。

图3.6 电磁感应：运动的磁体产生电场。

电场在金属导线中产生电流的机制如下。导线呈电中性，通常由带正电的离子和带负电的电子组成。电场对两者都施加力，但离子因维持固体金属完整性的机械力而不会移动。然而，电子可以自由运动，并在电场中加速。它们不会无限加速，而是达到一个与E成正比的最大速度，因为电流受到导体电阻的限制。其结果就是，电流密度j与外加电场E成正比，这就是欧姆定律(Ohm’s law)的一种形式。这种电流流动的图景被称为德鲁德理论(Drude theory)。该理论在电子发现后的早期岁月里取得过一些成功，但后来发现它颇为幼稚。实际上，导体中电子的行为只有在量子理论的框架下才能被精确模化。我们将会在第9章考察固体中电子的量子理论。

第四个麦克斯韦方程，∇× B = j + ∂E∂t，描述了B环绕电流的环流，即奥斯特(Ørsted)观察到的现象。电流通常在导线中流动，但也可以是带电粒子束。事实上，简化后的方程∇× B = j

80
场——麦克斯韦方程组
图3.7 螺线管周围的磁场。
安培(Ampère)定律很好地描述了这一点，被称为安培定律。安培定律对于由电池和大多数发电网络产生的闭合电路中的电流有效。它也足以理解通过称为螺线管的线圈的电流所产生的磁场，该磁场与条形磁铁的磁场非常相似，如图3.7所示。然而，麦克斯韦(Maxwell)意识到，当电路不闭合时，安培定律本身是不正确的。例如，在图3.8所示的装置中会有电流流动。电流可以通过电池短暂驱动，或者通过穿过不完整导线回路内部的变化磁通量（更长时间）来驱动。当电流流动时，顶部极板上会积累异号电荷，它们共同构成一个电容器，并且根据第一个麦克斯韦方程，极板之间还会建立电场。麦克斯韦注意到，当从导线周围的区域移动到极板间缝隙周围的区域时，磁场应该平滑变化。极板上的电荷并不直接产生磁场，但极板间随时间变化的电场却会产生磁场。第四个麦克斯韦方程考虑了B由电流密度j和E的时间导数两者共同产生。

这第二个产生B的源——变化的电场——并未被早期科学家通过实验发现，因为通过导线连接到电池的电容器往往会迅速充电然后稳定下来，因此没有足够的时间来观察这一效应。另一方面，缓慢变化的电场虽然有足够的时间来观察效应，但只能产生非常微弱的磁场。

麦克斯韦方程组与电荷守恒是一致的。电荷可以流动，但既不能被创造也不能被消灭。电荷/电流守恒方程为
∇· j + ∂ρ/∂t = 0 。
(3.29)

电场 电荷 导线 导电板 +q E + – – – – – + + + + –q
图3.8 电容器中的电流流动和电荷积累。
这表明，电荷密度ρ(x, t)在点x处可以随时间变化，但它只有在有净电流密度j流入x时才能增加，或者在有净电流密度流出时才能减少。

麦克斯韦方程组意味着电荷守恒必须成立。为了看清这一点，对第一个麦克斯韦方程(3.25)取时间导数，并交换导数∂/∂t和∇的顺序（由于混合偏导数的对称性，这是允许的），得到
∇· ∂E/∂t = ∂ρ/∂t 。
(3.30)
利用第四个麦克斯韦方程(3.28)替换∂E/∂t，上式变为
∇· (∇× B − j) = ∂ρ/∂t ，
(3.31)
由于∇·(∇× B)自动为零（回忆方程(3.24)和相关讨论），此式简化为电荷/电流守恒方程(3.29)。注意，如果没有麦克斯韦在方程(3.28)中添加的额外项，就会出现不一致。较简单的安培定律仅在∇· j = 0时成立，这对于闭合电路中的电流是成立的，但如果空间中某处的电荷密度随时间变化，则不再成立。

3.6
静电场
麦克斯韦方程组最简单的解是静电场。当没有电流和磁场，且电荷密度ρ是静态时，就会出现这种情况。此时电场E也是静态的。麦克斯韦方程(3.27)和(3.28)被平凡地满足，剩下的方程为
∇· E = ρ(x) ，
∇× E = 0 。
(3.32)

82
场——麦克斯韦方程组
其中第二个方程意味着E可以表示为−∇Φ，正如3.4节所解释的那样，
在这种情况下，第一个方程就变为∇·∇Φ = −ρ(x)。现在回想一下，算子∇·∇就是拉普拉斯算符∇²，因此静电学的基本方程是
∇²Φ = −ρ(x) 。 (3.33)
这就是标量势Φ的泊松方程。ρ是Φ的源，但不能完全确定Φ，因为拉普拉斯方程∇²Φ = 0有许多解。
然而，如果电荷被局限在一个有限区域内，那么我们可以施加边界条件：当|x| → ∞时，Φ → 0，这样Φ便是唯一的。

为了寻找泊松方程的解，让我们首先考虑电荷密度ρ和势Φ都是球对称且光滑、并且ρ在某个半径R之外为零的情况。电荷密度和势是函数ρ(r)和Φ(r)，其中r是径向坐标。利用拉普拉斯算符的球坐标形式，如方程(1.42)所示，泊松方程简化为
d²Φ/dr² + (2/r) dΦ/dr = −ρ(r) 。 (3.34)
这等价于
d/dr (r² dΦ/dr) = −r²ρ(r) 。 (3.35)
积分，然后两边乘以4π，得到
4πr² dΦ/dr = −∫₀ʳ 4πr’²ρ(r’) dr’ 。 (3.36)
（若要求Φ在原点光滑，则没有进一步的积分常数。）右边是半径为r的球内电荷的负值，我们将其记为Q(r)。因此
dΦ/dr = −Q(r)/(4πr²) ， (3.37)
而Φ本身可以通过再积分一次得到。这里出现的4π从泊松方程的形式中看并不明显；它与单位球面的面积为4π有关。电场为E = −∇Φ = −(dΦ/dr) x̂，正如我们在方程(1.38)中所见，因此
E(x) = (Q(r)/(4πr²)) x̂ ， (3.38)
这是一个径向的、强度为Q(r)/(4πr²)的场。E在原点处为零，因为当r → 0时，Q(r)比r²更快地趋于零。

当r大于R时，电荷密度为零，因此Q(r) = Q，其中Q是总电荷。因此，电场按平方反比定律衰减，
E(x) = (Q/(4πr²)) x̂ 。 (3.39)
在此，势Φ满足拉普拉斯方程，因此如我们在第1章末尾所论证的，它必须具有形式Φ(r) = C/r + D。如果C = Q/(4π)，则dΦ/dr的值正确，并且Φ满足

静电场
83
无穷远处的边界条件，如果D = 0。因此，总电荷为Q的球对称电荷分布外部的势为
Φ(r) = Q/(4πr) 。 (3.40)
一个特殊情况是半径为R的球内均匀球对称电荷密度ρ₀。总电荷为Q = (4/3)πR³ρ₀。球外，势为Φ(r) = Q/(4πr)，电场为E(x) = (Q/(4πr³)) x。球内，dΦ/dr由方程(3.37)给出，其中Q(r) = (4/3)πr³ρ₀。积分可得，Φ本身是二次表达式
Φ(r) = (Q/(8πR))(3 − r²/R²) ， (3.41)
积分常数被确定为使得Φ在r = R处连续，该处Φ等于Q/(4πR)。
因此球内电场为
E(x) = (Q/(4πR³)) x ， (3.42)
线性地趋于原点处的零。

一般结果(3.39)和(3.40)最有趣的特点是：外部电场和势仅依赖于总电荷，而与电荷如何径向分布无关，如图3.9所示。这一点最初是由牛顿(Newton)在引力背景下用不同方法确立的。他证明，小的检测物体受到的大而球对称物体的引力，与该大物体的全部质量都集中在其中心时的引力相同。

图3.9 带电体外部的电场。

84
场——麦克斯韦方程组
利用公式(3.40)，我们可以继续寻找泊松方程的更一般解。首先，考虑电荷密度集中于原点且总电荷²为q的极限情况。那么势为
Φ(x) =
q
4π|x| ,
(3.43)
该势除原点外处处有限，原点处Φ有一个奇点。对于位于X处的点电荷，我们只需将|x|替换为|x − X|。泊松方程是线性的，因此如果存在位于x(1), . . . , x(N)处的一系列电荷q(1), . . . , q(N)，则总势通过叠加或线性叠加得到。势为
Φ(x) =
N
X
k=1
q(k)
4π|x − x(k)| .
(3.44)
对于光滑的电荷密度ρ（不一定球对称），其解则可通过将该表达式中的求和替换为积分而得到。因此原泊松方程(3.33)的通解为
Φ(x) =
Z
ρ(x′)
4π|x − x′| d3x′ .
(3.45)
它处处光滑。
我们比较详细地讨论了泊松方程及其解，因为正如我们马上会看到的，同样的方程也出现在静磁学中，并且在牛顿引力中考虑有限大小物体时也会出现。
3.6.1
电荷与偶极矩
考虑一个局域但光滑的电荷密度，不要求相对原点球对称，并假设在某个有限半径R0之外电荷密度为零。势Φ(x)是泊松方程的解(3.45)，在半径R0之外它自动满足拉普拉斯方程。在远处，Φ可以展开成到原点距离r的倒数幂级数。从展开式的前几项我们可以了解电荷分布的主要特征，尽管无法分辨其所有精细细节。首项只依赖于总电荷，下一项则依赖于所谓的电荷分布的电偶极矩，它是一个矢量。
为求出电荷和偶极矩以及它们在势中产生的项，我们需要当|x′| ≪ |x|时1/|x−x′|的展开式。这可通过
|x − x′|2

(x − x′) · (x − x′)
≃
r2 − 2x · x′
(3.46)

r2

1 − 2x
r2 · x′

(3.47)
推导，其中r2 = |x|2是到原点距离的平方，我们已舍去项|x′|2。

² 我们用符号Q表示复合物体的总电荷，用q表示点状物体或粒子的电荷。

静电场
85
求倒数并开方，得
[
\frac{1}{|x - x’|} \simeq \frac{1}{r} \left( 1 + \frac{x}{r^2} \cdot x’ \right) = \frac{1}{r} + \frac{x}{r^3} \cdot x’ .
\tag{3.48}
]
将此代入泊松方程的解，我们得到大 (r) 时的两个主要项，
[
\Phi(x) \simeq \frac{1}{4\pi r} \int \rho(x’) , d^3x’ + \frac{x}{4\pi r^3} \cdot \int x’ \rho(x’) , d^3x’ .
\tag{3.49}
]
这里的积分分别是总电荷
[
Q = \int \rho(x’) , d^3x’ ,
\tag{3.50}
]
和偶极矩
[
p = \int x’ \rho(x’) , d^3x’ .
\tag{3.51}
]
那么对于大 (r)，势的主要项可以更紧凑地写成
[
\Phi(x) \simeq \frac{Q}{4\pi r} + \frac{p \cdot x}{4\pi r^3} ,
\tag{3.52}
]
且两者都满足拉普拉斯方程。电荷项按 (1/r) 衰减，与球对称电荷分布产生的势相同；偶极项按 (1/r^2) 衰减，是偏离球对称性的量度。电场为 (E = -\nabla \Phi)，其偶极部分按 (1/r^3) 衰减，并具有非平凡的角度依赖关系。

在电荷分布平移（例如平移矢量 (a)）下，总电荷 (Q) 不变，但偶极矩变为
[
\tilde{p} = \int (x’ + a) \rho(x’) , d^3x’ = p + Q a .
\tag{3.53}
]
因此，若存在净电荷，偶极矩会改变，且可通过适当选择 (a)（或等价地，适当选择原点）将其设为零。当 (Q) 不为零时，偶极矩没有不变的物理意义。然而，如果没有净电荷，则偶极矩在平移下是不变的，因此更具有意义。例如，我们将在第9章看到，HCl 是一种极性分子，没有净电荷，但氢离子带正电，氯离子带负电。该分子具有电偶极矩。它随着分子的转动而转动，但其大小与分子的取向无关。

最简单的偶极子是一个点负电荷 (-q) 和一个点正电荷 (q)，相距为 (d)。其偶极矩为 (p = qd)。

当电荷运动时，电荷分布的偶极矩通常是随时间变化的。振荡偶极子是电磁波的主要来源，我们接下来将讨论这一点。

86
场——麦克斯韦方程组
3.7
电磁波

麦克斯韦(Maxwell)方程组涉及场 E 和 B。这些场是物理的，尽管它们不易直观想象，特别是当它们随时间变化时。令人惊讶的是，如果引入一组新的场，方程会得到简化。这些新场完全不可直接观测，但它们似乎也是物理的，并且是基本的。新场就是标量势 Φ 和矢量势 A，在 3.4 节已简要提及。Φ 是静电学中出现的势的含时版本，而 A 通常也是含时的。

引入 Φ 和 A 的动机在于，对于任意满足两个无源麦克斯韦方程 (3.26) 和 (3.27) 的 E 和 B，我们总能找到这些新场，而且 E 和 B 共有六个分量，而 Φ 和 A 只有四个。

无论 B 是否随时间变化，它都可以表示为
B = ∇× A ,
(3.54)
因为 ∇·B = 0。对时间求导得 ∂B/∂t = ∇× ∂A/∂t，将此表达式代入第二个麦克斯韦方程 (3.26)，我们得到
∇×
(
E + ∂A/∂t
)
= 0 .
(3.55)

现在回想一下，旋度为零的矢量场是某个标量场的梯度。因此我们总可以写出
E + ∂A/∂t = −∇Φ .
(3.56)
这推广了静电学关系式 E = −∇Φ。合起来，用 Φ 和 A 表示的 E 和 B 的表达式为
E = −∂A/∂t −∇Φ ,
B = ∇× A .
(3.57)
当 E 和 B 以这种方式表达时，麦克斯韦方程 (3.26) 和 (3.27) 自动满足。

我们稍早前解释过，这两个麦克斯韦方程，特别是法拉第(Faraday)感应定律 (3.26)，是具有重大物理意义的实验发现，有着重要的实际应用。通过引入 Φ 和 A，并用它们表示 E 和 B，我们似乎将感应定律归结为数学上的平凡结论，即混合偏导数对称性的结果。这种观点是误导性的。更好的观点是，法拉第（在没有意识到的情况下）发现，即使对于随时间变化的电场和磁场，场 Φ 和 A 也具有物理存在，正如早先已认识到它们对于静态场是存在的，在静态场中 E = −∇Φ 且 B = ∇× A。

对于给定的 E 和 B，场 Φ 和 A 并不是唯一的。我们可以作如下替换
Φ → Φ − ∂λ/∂t ,
A → A + ∇λ ,
(3.58)
其中 λ(x, t) 是任意函数。由方程 (3.57) 定义的 B 不受影响，因为 ∇×∇λ = 0，而 E 也不受影响，因为在方程 (3.57) 中，涉及 λ 的附加项相互抵消。变换 (3.58) 称为规范变换。(这一术语是

电磁波
87
现已通用，但它源于一个不同的语境，那里确实涉及测量规范（gauge）的改变，即长度尺度的改变。）通过规范变换相联系的两个场 Φ 和 A 应被视为物理上等价的。

现在我们可以将 E 和 B 的表达式 (3.57) 代入剩余的麦克斯韦方程 (3.25) 和 (3.28) 中。方程 (3.25) 变为
−∇·
∂A
∂t + ∇Φ

= ρ ,
(3.59)
或者，重新整理导数顺序后，
−∂
∂t(∇· A) −∇2Φ = ρ .
(3.60)
方程 (3.28) 变为
∇× (∇× A) = j −
∂2A
∂t2 + ∇∂Φ
∂t

.
(3.61)
利用恒等式 ∇× (∇× A) = ∇(∇· A) −∇2A，它类似于方程 (1.20)，方程 (3.61) 可以重新表达为
∂2A
∂t2 −∇2A + ∇

∇· A + ∂Φ
∂t

= j .
(3.62)
从 (E, B) 到 (Φ, A) 的过渡的一个特点在此变得清晰。麦克斯韦方程只包含场的一次时间导数，而方程 (3.62) 包含 A 的二次时间导数。

方程 (3.60) 和 (3.62) 看起来并不优美，但存在简化的可能。由于 Φ 和 A 并不唯一，我们可以根据自己的方便再施加一个条件。这称为规范固定条件（gauge fixing condition）。最佳选择取决于具体情形。有时取 ∇· A = 0，这称为库仑规范（Coulomb gauge）；有时取 Φ = 0，这称为时间规范（temporal gauge）。这里最好施加洛伦兹规范条件（Lorenz gauge condition），它以路德维希·洛伦兹（Ludvig Lorenz）命名，
∇· A + ∂Φ
∂t = 0 .
(3.63)
如果势 (Φ, A) 最初不满足此条件，我们可以找到一个函数 λ，使得在规范变换 (3.58) 之后它们满足该条件。

在洛伦兹规范下，方程 (3.62) 简化为
∂2A
∂t2 −∇2A = j ,
(3.64)
并且我们可以在方程 (3.60) 中用 −∂Φ
∂t 替换 ∇· A，得到
∂2Φ
∂t2 −∇2Φ = ρ .
(3.65)
这是麦克斯韦方程组的一个显著简化。A 和 Φ 均遵循波动方程，分别以 j 和 ρ 作为源。A 和 Φ 并非彼此独立，因为有规范条件 (3.63)——但这是合理的，因为 j 和 ρ 也并非独立，它们满足电荷/电流守恒方程 (3.29)。

形式为方程 (3.64) 和 (3.65) 的麦克斯韦方程组预言了麦克斯韦的前辈们未曾想象的新现象。它们意味着振荡的电流和电荷会产生类似波动的电磁场，这些场以光速（c = 1）在空间中传播，并且可见光只是更为宽广的电磁波谱的一小部分。对这些思想的首次实验证实是由海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）在 1887 年完成的。他在一个导线回路中产生电流，该电流在回路的一个间隙处产生火花。在实验室另一端几米之外的地方，赫兹制作了一个接收器，它对火花产生的电磁信号作出响应，如图 3.10 所示。当然，如今产生各种类型的电磁波已是司空见惯。无线电波通常通过让振荡电流通过天线（aerial or antenna）来产生。

图 3.10 赫兹探测电磁波的实验。

无论它们如何产生，电磁波都可以通过求解无源波动方程来理解。这些方程就是令方程 (3.64) 和 (3.65) 中的 j 和 ρ 均为零。最简单的解是平面波，它是标量场论中平面波解的四分量版本。其形式为
A(x, t) = eAei(k·x−ωt) ,
Φ(x, t) = eΦei(k·x−ωt) .
(3.66)
ω 是角频率，k 是波矢，无源波动方程意味着它们必须满足
ω2 = k · k = |k|2 .
(3.67)

电磁波
89
因此波速 |ω|/|k| 等于1，即光速。矢量振幅 eA 和标量振幅 eΦ 为常数，由于 Lorenz 规范条件 (3.63)，它们满足关系 k · eA − ωeΦ = 0。

在我们使用的单位制下，波速必然是光速，但最初麦克斯韦方程组中的各种单位与场定义均基于电荷与电流间的作用力。从方程导出的电磁波速度是否会与任何已知速度有关联，这一点绝非显而易见，因为当时无人知晓光是一种电磁现象，尽管法拉第(Faraday)在1845年演示磁场能对光的偏振产生微弱但可察觉的影响时，就已发现这可能成立的线索。麦克斯韦(Maxwell)意识到，他的方程所预言的波具有多种性质，例如不同的偏振，与已知的光的性质相符，并且关键在于它们以实测的光速传播。唯一合理的结论是，光必定是电磁波的一个实例。这是科学史上最卓越的突破之一。

真空中的光速与频率或者说波长无关。这与关系式 (3.67) 一致，但与标量场关系式 ω^2 = |k|^2 + μ^2 中参数 μ 取非零值的情况相矛盾。由于对 k 没有限制，电磁波可以有任意短或任意长的波长。波的频率由波源的振荡频率决定。频率变化，波长也随之变化。如图 3.11 所示，现已观测到范围极广的波长，它们或在实验室中产生，或来自宇宙过程。其中包括波长约 100 m 的长波无线电信号、约 1 m 的现代 VHF 无线电与无线宽带信号、夜视技术中探测到的约 10^{−4} m 的红外波、范围从 7×10^{−7} m（红色）到 4×10^{−7} m（紫色）的可见光、约 10^{−10} m 的 X 射线，以及约 10^{−11} m 的实验室同步辐射“光”。核衰变与粒子对撞中产生的 γ 射线波长约为 10^{−13} m。波长如此之短的电磁波已不能很好地用经典电磁现象来描述，而须在量子理论中将其视为由单个光子组成。

无线电波 微波 红外 可见光 紫外 X射线 γ射线
10^2 m 1 m 10^{-2} m 10^{-4} m 10^{-6} m 10^{-8} m 10^{-10} m 10^{-12} m
图 3.11 电磁波谱。

现在我们来考虑电磁平面波的电场和磁场的几何结构，如图 3.12 所示。给定如方程 (3.66) 中的 A 和 Φ，由公式 (3.57) 可得
E = (iω eA − i k eΦ) e^{i(k·x−ωt)} (3.68)
和
B = i k × eA e^{i(k·x−ωt)} . (3.69)
此外还有 Lorenz 规范条件，即 k · eA − ω eΦ = 0。
k 与 eA 之间的关系并不显然，但我们可以通过更精确地确定规范来澄清问题。对于电磁波，可以将 eA 规范固定为

90
场——麦克斯韦方程
波矢k正交。于是k · eA = 0，故eΦ = 0。此时波具有振幅为ω eA的电场E（与k正交的矢量），以及振幅为k × eA的磁场B（同时正交于E与k）。在我们的单位制中，E与B的振幅大小相等，因为|ω| = |k|。称该波沿E方向（或等价地eA方向）极化。这种极化是横波性质的，因其正交于波传播方向k。
B
E
k
图3.12 电磁波
在不太精确的规范固定下，eA仍可能具有平行于k的分量；这称为纵向极化分量，若存在则伴随着非零的eΦ。然而该纵向分量没有物理效应，因为它会在E与B中消失，并可通过规范变换λ(x, t) = ie
Φ
ω ei(k·x−ωt)予以消除，该变换同样使eΦ归零。此规范变换保持洛伦兹规范条件，因λ满足波动方程。
3.8
静磁学
稳定电流产生静态磁场。若同时无电荷密度与电场，则麦克斯韦方程约化为
∇· B = 0 ,
∇× B = j .
(3.70)
电流密度j须满足电流守恒方程∇· j = 0，即(3.29)式的静态形式。(3.70)中第一式意味着B仍可表为∇× A，而第二式化为
∇× (∇× A) = j .
(3.71)
我们再次利用恒等式∇× (∇× A) = ∇(∇· A) −∇2A，并结合库仑规范条件∇· A = 0以固定规范。（当场为静态时，库仑规范等价于洛伦兹规范。）则(3.71)简化为
∇2A = −j ,
(3.72)

静磁学
91
这就是静磁学的基本方程。它是泊松方程(3.33)的矢量版本。A的每个分量都满足通常的泊松方程，其源为j的对应分量。取散度后可见∇²(∇·A) = 0，这与库仑规范条件一致。
我们可以通过类比标量泊松方程的解(3.45)来求解(3.72)。结果为
A(x) =
∫
j(x′)
4π|x −x′| d³x′ 。
(3.73)
磁场B是此A表达式的旋度。导数作用在积分内，对变量x进行，求得
B(x) =
∫
j(x′) ×
x −x′
4π|x −x′|³ d³x′ ，
(3.74)
这就是毕奥-萨伐尔定律(Biot–Savart law)。
推导此结果的另一方法是考虑∇×(∇×B)。方程(3.70)进而化为
∇²B = −∇× j 。
(3.75)
这又是泊松方程，其解为
B(x) =
∫ (∇× j)(x′)
4π|x −x′| d³x′ 。
(3.76)
通过分部积分可由此得到毕奥-萨伐尔定律。
A或B的解都不像静电学中的解那样简单。在静磁学中，带电球壳的对应物是圆形电流环。它只具有圆对称性，而非球对称性。这样一个电流环产生的磁场如图3.13所示。该磁场不能表示为x的初等函数，但可用椭圆积分（如此命名是因为它们用于计算椭圆的周长）表示。对于穿过回环中心的对称轴上的场，有一个简单表达式。在距回环的距离r远大于回环半径时，场也得到简化。此时主导场为磁偶极场，其源称为电流分布的磁矩。
或许最有用的磁场是由螺线管产生的磁场。实际上，螺线管是一个密绕的圆柱形导线线圈，其中有稳定电流通过。数学上，它是一个有限长圆柱，其上环流着均匀的电流密度（电流没有平行于圆柱轴线的分量）。螺线管产生的磁场描绘在图3.7中。若螺线管长度有限，则没有简单精确的场公式，但沿其内部场近似均匀，而从两端发出的场近似等同于放在两端的相反磁极所产生的场。总场几乎等同于条形磁铁的场；条形磁铁是一种材料物体，因原子尺度上的量子效应而有效产生稳定电流，其电流几何形态与螺线管相同。

92
场——麦克斯韦方程组
图3.13 载流导线周围的磁场。
3.9 电磁场的 least action 原理（最小作用量原理）
回顾牛顿动力学中，一维运动物体的运动方程为
md2x
dt2 = −dV
dx ,
(3.77)
这是一个关于x的单变量二阶微分方程。该方程可以从最小作用量原理推导出来。通过引入动量变量p，运动方程可以表示为一阶系统
dx
dt

1
mp ,
dp
dt

−dV
dx .
(3.78)
消去p即可恢复方程(3.77)。一阶系统将x和p置于更加对称的地位，是动力学哈密顿表述的基础。
麦克斯韦方程组也是一个一阶动力学系统。E和B的出现相当对称，并且只有它们的时间一阶导数显式出现。我们不清楚哪个场——如果有的话——类似于x，哪个类似于p。这可能使得为电磁场寻找最小作用量原理变得困难。通过使用场A和Φ，这个问题得以解决。基本场是A，它类似于粒子动力学中的位置型变量，麦克斯韦方程组则约化为关于A的二阶动力学方程，该方程可以从最小作用量原理推导出来。
场A在规范变换下会改变，因此A中只有部分是规范不变且物理的。磁场B = ∇×A捕获了A在给定时刻所包含的局部的、规范不变的信息。同时回想E = −∂A
∂t −∇Φ。其中第一项−∂A
∂t是一个速度型变量，减去∇Φ则挑选出规范不变的部分，即物理的电场。

洛伦兹力
93
场 E。如果拉格朗日量中只出现 A 和 ∂A/∂t，欧拉–拉格朗日方程将完全决定 A 的时间演化。由于规范不变性，实际情况并非如此。A 的演化存在一定的任意性，而引入 Φ 正是为了考虑这一点。
经过这番铺垫，我们可以给出拉格朗日量和作用量。假设电荷密度 ρ 和电流密度 j 是事先给定的时空函数，并满足电荷/电流守恒约束 (3.29)。那么电磁场的拉格朗日量为
L =
∫ {
1
2
E · E −
1
2
B · B + A · j − Φρ
}
d3x ,
(3.79)
作用量为
S =
∫ t1
t0
L dt .
(3.80)
A 是基本的动力学场，且如前所述，E = −∂A/∂t − ∇Φ，B = ∇ × A。Φ 是另一个独立的场。对于无源电磁场，½ E·E 的积分是动能，½ B·B 的积分是势能。项 A·j − Φρ 表示场与外部源的相互作用，它们也对能量有贡献。
欧拉–拉格朗日方程通过对 A 和 Φ 取作用量的极小值得到。这涉及到考虑 A 和 Φ 的小变分，并像通常那样进行分部积分。欧拉–拉格朗日方程（我们不再重新推导）将重新给出方程 (3.60) 和 (3.62) 形式的麦克斯韦方程组。
作用量中没有 ∂Φ/∂t 项，因此 Φ 不是动力学场。Φ 是所谓拉格朗日乘子或辅助场的一个例子，∇Φ 项的出现并不破坏这种解释。注意方程 (3.62) 包含 A 的二阶时间导数，但方程 (3.60) 只涉及其一阶时间导数。仍然可以通过固定规范来简化方程，但不应从拉格朗日量中移除 Φ。例如，在库仑规范 ∇·A = 0 下，方程 (3.60) 瞬时地将 Φ 与 ρ 联系起来。这是关于 Φ 的一种约束方程，而非动力学方程，但在物理上仍然有效。

3.10 洛伦兹力

我们已经将电荷和电流当作电磁场的源来介绍，但并未详细考虑它们的动力学。电荷彼此之间施力，电流也是如此。例如，为了在一匝线圈中维持大电流，必须将线圈刚性地固定在某个框架中，否则它会因线圈不同部分之间作用的磁力而松散开来。
静止电荷之间的力是库仑力。一般形状的电流环路之间的力由安培（Ampère）算出，但形式相当复杂。比这两者更基本的是电磁场对不一定处于静止状态的带电点粒子所施加的力。这就是以亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）命名的洛伦兹力，其表达式为
F = q(E + v × B) .
(3.81)
由于是点状的，位于 x 处的粒子受到的力只取决于当地的场值 E(x) 和 B(x)，以及粒子的电荷 q 和速度 v。电力

场——麦克斯韦方程组

qE 的方向与 E 相同，且与粒子速度无关。磁力 qv × B 正交于磁场和速度。

因此，电荷为 q、质量为 m 的粒子的运动方程为
md²x/dt² = q ( E + dx/dt × B ),
(3.82)
其中我们用 dx/dt 表示速度。这是带电粒子的牛顿(Newton)第二定律，右侧为洛伦兹(Lorentz)力。加速度与速度项的组合我们之前见过，对于受摩擦力作用的粒子，但这里没有摩擦，因为磁力与速度正交，不做功。这一点可以通过将方程(3.82)与 dx/dt 点乘得到
d/dt ( ½ m dx/dt · dx/dt ) = qE · dx/dt .
(3.83)
我们看到，粒子动能的变化率等于电场做功的速率。

一个静止电荷对另一个施加的库仑(Coulomb)力可以从洛伦兹力得出。位于原点的电荷 q(1) 产生电场
E(x) = q(1)/(4πr²) ˆx = q(1)/(4πr³) x .
(3.84)
作用于位置 x 处的电荷 q(2) 的力为
F = q(1)q(2)/(4πr³) x ,
(3.85)
这是一个平方反比律力。更一般地，位于 x(1) 的电荷 q(1) 对位于 x(2) 的电荷 q(2) 施加的库仑力为
F = q(1)q(2)(x(2) − x(1)) / (4π|x(2) − x(1)|³) .
(3.86)
电荷 q(2) 对电荷 q(1) 施加的力大小相等、方向相反，符合牛顿第三定律。

这对电荷的库仑势能为
V = q(1)q(2) / (4π|x(2) − x(1)|) .
(3.87)
这类似于一对质量 m(1) 和 m(2) 在这些位置上的引力势能，V = −Gm(1)m(2)/|x(2)−x(1)|，但注意后一量是负的，而对于同号电荷，库仑能量为正。引力总是吸引的，但库仑力对同号电荷是排斥的，对异号电荷是吸引的。

当多个带电粒子相互作用时，每个粒子上的总力在良好近似下是所有其他粒子施加的库仑力之和。还有磁力

洛伦兹力

当粒子之间存在相对运动时会有修正，但如果相对速度远小于光速，这些修正很小。

知道了作用力，就可以计算带电粒子在固定背景电磁场中的运动。一般来说，这相当复杂，但如果背景场是均匀且静态的，问题会简化。这里我们将描述最简单的情况。首先是均匀电场中的运动。若电场为 $\boldsymbol{E} = (0, 0, E)$，则运动方程 (3.82) 意味着粒子具有平行于3轴的恒定加速度，大小为 $\frac{qE}{m}$。如果粒子在 $t=0$ 时从原点静止出发，其后的位置为 $\boldsymbol{x}(t) = \left(0, 0, \frac{qE}{2m}t^2\right)$。任何匀速运动都可以叠加于此。

更有趣的是在均匀静态磁场中带电粒子的运动。运动方程为
$$
m\frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2} = q \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} \times \boldsymbol{B} ,
\tag{3.88}
$$
可积分一次得到
$$
m\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = q\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{u} ,
\tag{3.89}
$$
其中 $\boldsymbol{u}$ 是恒定速度。速度 $\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}$ 平行于 $\boldsymbol{B}$ 的分量保持不变。对于垂直于 $\boldsymbol{B}$ 的运动，$\boldsymbol{u}$ 的影响可以通过坐标平移来抵消。因此，我们假设已完成这一平移，并将 $\boldsymbol{u}$ 设为零。若 $\boldsymbol{B} = (0, 0, B)$，则（利用叉积定义 (1.15)）运动方程投影到 $(x_1, x_2)$ 平面的分量为
$$
m\frac{dx_1}{dt} = qB x_2 , \quad m\frac{dx_2}{dt} = -qB x_1 .
\tag{3.90}
$$
这表明 $x_1^2 + x_2^2$ 的时间导数为零，因为
$$
\frac{d}{dt}(x_1^2 + x_2^2) = 2x_1\frac{dx_1}{dt} + 2x_2\frac{dx_2}{dt} = \frac{2qB}{m}(x_1 x_2 - x_2 x_1) = 0 .
\tag{3.91}
$$
所以 $x_1^2 + x_2^2 = R^2$，其中 $R$ 是常数，投影运动在一个圆上。如果我们将 $x_1 = R\cos\phi(t)$, $x_2 = R\sin\phi(t)$，那么当 $\frac{d\phi}{dt} = -\frac{qB}{m}$ 时，方程 (3.90) 得到满足。因此，粒子以恒定的角频率 $\omega = \frac{qB}{m}$ 稳定地绕圆运动，该频率称为回旋频率 (cyclotron frequency)。圆的中心可以位于任何位置（当考虑常数 $\boldsymbol{u}$ 时），半径 $R$ 也是任意的；回旋频率与这些参数无关。一般情况下，当粒子的速度包含平行于 $\boldsymbol{B}$ 的分量时，粒子将沿螺旋线行进。

$R$ 随着粒子速度的增加而增大。因此，如果带电粒子穿过一个均匀磁场区域，可以从其轨迹的曲率半径测量其速度。这被应用于粒子探测器中，例如大型强子对撞机 (Large Hadron Collider) 的 CMS 和 ATLAS 探测器。

磁场中的圆周运动也是粒子加速器的基础。1932年，欧内斯特·劳伦斯 (Ernest Lawrence) 发明了一种早期加速器，称为回旋加速器 (cyclotron)，其示意图如图3.14所示。回旋加速器由两个中空的D形金属部件构成，其直边之间有一个狭窄的间隙。该装置

96
场——麦克斯韦方程组
质子源
“D形盒”
高速质子束
高频加速电压
图3.14 回旋加速器。
置于均匀恒定磁场中。如我们所见，以恒定速度运动的带电粒子在这样的磁场中沿圆形轨道运动。回旋加速器的关键设计特征是在间隙处施加一个振荡电场，并使振荡的时间与粒子经过间隙的时刻同步。这样，粒子每次穿过间隙时都会被进一步加速。结果是，从装置中心注入的粒子会以越来越大的速度向外作螺旋运动，直至从外缘的开口射出，并被引向靶体。

近期的加速器，如欧洲核子研究中心(CERN)的大型强子对撞机，拥有一个半径固定的环形磁铁系统。同样，粒子以相对较低的能量注入，并由电场脉冲加速。随着粒子速度增加，磁场必须逐步同步增强，以保持相同的曲率半径，使粒子维持在环中。由于磁场强度与不断增加的粒子速度同步变化，这类装置被称为同步加速器(synchrotrons)。直线粒子加速器，例如斯坦福直线加速器中心(SLAC)的加速器，则纯粹利用电场来加速粒子。因为粒子只从一端到另一端通过一次，其电场必须比环形加速器中的强得多。

在所有这些加速器中，粒子的运动速度都接近光速，因此运动方程(3.82)需要作相对论性修正。我们将在下一章探讨这个问题。

我们已经较为详细地讨论了电磁场施加在带电粒子上的力。现在简要提一下施加在电荷或电流分布上的力。正如一个电荷为q的粒子对电荷密度ρ有贡献一样，一个电荷为q、速度为v的运动粒子也对电流密度j有贡献。由作用在粒子上的洛伦兹力可以得出，电场施加在一个电荷分布上的总力为
∫ ρ(x)E(x) d³x
(3.92)
而磁场施加的总力为
∫ j(x) × B(x) d³x
(3.93)

洛伦兹力
97
在一个电流分布上。对于一个小电流环，磁力的净效应是产生一个作用在环上的力矩。

3.10.1 从最小作用量原理导出洛伦兹力

电荷为 ( q ) 的粒子的运动方程 (3.82) 可以从最小作用量原理推导出来。其作用量为
[
S = \int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{1}{2} m \frac{d\mathbf{x}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt} + q \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) \cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt} - q \Phi(\mathbf{x}(t)) \right) dt ,
\tag{3.94}
]
这是三维空间中粒子在势场中运动的作用量 (2.53) 的推广。这里粒子同时与标势 (\Phi) 和矢势 (\mathbf{A}) 相互作用，而且它们可以依赖时间。与方程 (3.79) 和 (3.80) 中不同，(\Phi) 和 (\mathbf{A}) 是背景场，只有带电粒子的轨迹 (\mathbf{x}(t)) 是变分的。

通常，( S ) 是针对连接固定端点 (\mathbf{x}(t_0)) 和 (\mathbf{x}(t_1)) 的一类粒子路径定义的，欧拉-拉格朗日方程 (Euler–Lagrange equation) 是 ( S ) 取极小值的条件。这个方程再现了运动方程 (3.82)。( S ) 的被积函数包含一个标准的动能项，以及一个类似于方程 (2.53) 中 ( V(\mathbf{x}(t)) ) 的势能项 ( q \Phi(\mathbf{x}(t)) )，但中间那个与速度成线性的项是新的。当对 (\mathbf{x}(t)) 进行变分时，(\mathbf{A}(\mathbf{x}(t))) 和 (\frac{d\mathbf{x}}{dt}) 都会改变。这就产生了运动方程中的 (\frac{d\mathbf{x}}{dt} \times \mathbf{B}) 项以及 (\mathbf{E}) 项中的 (\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}) 部分。

运动方程只依赖于规范不变量 (\mathbf{E}) 和 (\mathbf{B})，而作用量 ( S ) 看起来并非规范不变的。一个规范变换将 (\mathbf{A}) 和 (\Phi) 替换为新的势 (\mathbf{A}’ = \mathbf{A} + \nabla \lambda) 和 (\Phi’ = \Phi - \frac{\partial \lambda}{\partial t})，作用量则变为
[
S’ = S + q \int_{t_0}^{t_1} \left( \nabla \lambda \cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt} + \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right) dt = S + q \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt} \big( \lambda(\mathbf{x}(t)) \big) dt .
\tag{3.95}
]
被积函数是 (\lambda(\mathbf{x}(t))) 的全时间导数，即沿粒子轨迹计算的 (\lambda) 的时间导数。积分给出 ( S’ = S + q \lambda(\mathbf{x}(t_1)) - q \lambda(\mathbf{x}(t_0)) )。附加项只依赖于端点处的 (\lambda) 值，而与它们之间的轨迹 (\mathbf{x}(t)) 无关，因此它们不影响运动方程。在这个意义上，作用量是规范不变的。

这个例子说明了一个更普遍的原理：场，甚至作用量，并不总是严格规范不变的，但物理是规范不变的。我们应当把规范变换视为某种不可观测的事物，它影响物理的数学描述，但不影响物理本身。

如果 (\mathbf{A}) 和 (\Phi) 都不依赖时间，那么 (\mathbf{E} = -\nabla \Phi) 且 (\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A})，我们可以预期粒子具有守恒的能量。一个一般性的结果是，拉格朗日量中与速度成线性的项对能量没有贡献。能量是动能（速度的二次项）与势能（与速度无关）之和。因此，对于作用量 (3.94)，能量为
[
E = \frac{1}{2} m \frac{d\mathbf{x}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt} + q \Phi(\mathbf{x}(t)) .
\tag{3.96}
]
这解释了为什么 (\Phi) 被称为势；(\Phi(\mathbf{x})) 是位于 (\mathbf{x}) 处的单位电荷粒子的势能。

98
场——麦克斯韦方程组
E的时间导数为零，因为
dE
dt

md²x
dt² · dx
dt + q∇Φ(x(t)) · dx
dt

qE · dx
dt + q∇Φ(x(t)) · dx
dt

0 .
(3.97)
这里，我们利用运动方程(3.82)代换了 m d²x
dt²，并注意到
dx
dt × B 与 dx
dt 正交。在第二项中我们使用了链式法则，最后注意到对于静态场，E = −∇Φ。

3.11
场能量与动量
在电磁理论中评估能量并不总是这么简单直接。麦克斯韦方程组规定了场的动力学，但没有规定电荷和电流源的动力学，除了要求电荷/电流守恒。电荷和电流除了受到电磁洛伦兹力外，还受到其所处材料中的机械力和约束。这些材料通常并不简单，并且通常会耗散能量。

如果所有的源都是带电点粒子，能够在空间中自由运动，情况会更简单。电磁场和带电粒子的耦合系统是闭合的，具有单一作用量，并且应该具有守恒的总能量。不幸的是，在这种情况下出现了新的困难，那就是点粒子具有奇异性，它们产生的场似乎具有无穷大的能量。尽管如此，能量在多种情形下仍有意义，并且可以计算。

我们从静电学开始。对于静态电荷密度且没有电流的情况，我们可以假设磁场 B 和矢量势 A 为零。场的拉格朗日量(3.79)简化为
L =
Z 1
2∇Φ · ∇Φ −Φρ

d³x .
(3.98)
虽然 1
2∇Φ·∇Φ 来自电场贡献，通常被视为动能项，但这里我们可以将其解释为对势能的贡献（符号相反）。因此，在静电学中存在势能
V =
Z 
−1
2∇Φ · ∇Φ + Φρ

d³x ,
(3.99)
场的总作用量在 V 取极值时稳定，而这要求泊松方程 ∇²Φ = −ρ 成立。

只要 Φ 满足泊松方程，方程(3.99)中 V 的两项贡献就紧密相关。这通过维里关系
Z
(∇Φ · ∇Φ −Φρ) d³x = 0 ,
(3.100)
来表达，该关系很容易推导。假设我们将 Φ 替换为 μΦ，其中 μ 为实数。V 变为

场能量与动量
99
可以写成µ的函数，形式为
V (µ) =
Z 
−1
2µ2∇Φ · ∇Φ + µΦρ

d3x ,
(3.101)
其导数为
dV
dµ =
Z
{−µ∇Φ · ∇Φ + Φρ} d3x .
(3.102)
现在，泊松方程(Poisson’s equation)是V在Φ的所有变分下保持稳态的条件，包括用µΦ替换Φ，
因此当µ = 1时，dV
dµ必须为零，在这种情况下方程
(3.102)退化到位力关系(3.100)。
利用这一点，我们可以从V中消去Φρ或∇Φ · ∇Φ，因此V有替代表达式
V = 1
2
Z
∇Φ · ∇Φ d3x ,
(3.103)
或
V = 1
2
Z
Φρ d3x .
(3.104)
第一个积分完全用电场表示能量，因为∇Φ·∇Φ = E·E。
如果我们使用泊松方程的解(3.45)，第二个积分变为
V =
Z Z
ρ(x)ρ(x′)
8π|x −x′| d3x d3x′ ,
(3.105)
它完全用电荷密度表示V。
光滑电荷分布的势能是有限的，但对于位于原点的点电荷q，它产生的电场由方程(3.39)给出，且
V =
Z ∞
0
q2
32π2r4 4πr2 dr ,
(3.106)
这是一个发散积分，代表电荷的自能。对于一组静态或缓慢运动的点电荷，可以减去一个无穷常数，得到一个有效的势能来表示电荷之间的有限相互作用能，但对于快速运动和加速的电荷，这是不可能的。这些发散不再仅仅是静电场的发散。
让我们回到动力学电磁场。在没有源的情况下，能量E是场中动能和势能的总和。从拉格朗日量(Lagrangian)(3.79)我们读出
E = 1
2
Z
(E · E + B · B) d3x ,
(3.107)
并可以使用无源麦克斯韦方程组验证这是守恒的。将方程(3.28)与E点乘，方程(3.26)与B点乘，然后相减，我们得到
1
2
∂
∂t(E · E + B · B) + ∇· (E × B) = 0 ,
(3.108)
因此能量E的时间导数是全导数−∇· (E × B)的积分，对于在无穷远处衰减足够快的场，这个积分自动为零。

100
场——麦克斯韦方程组
因此，场的能量密度为
1
2(E · E + B · B)，而方程(3.108)的解释是矢量E × B为能流密度。场
同时还携带动量，矢量E × B也是场的动量
密度。电磁波由正交的场E和B构成，因此E × B
非零。它在波矢k的方向上同时携带能量和动量。
3.12
粒子与场的动力学
至此，我们几乎完成了对电磁理论的综述。我们介绍了麦克斯韦方程组，它们将电场和磁场与电荷和电流源联系起来。这些源可以是宏观的，例如导线中的电流，也可以是运动的点粒子。场并未完全由这些源决定，因为存在不需要源的独立电磁波解。我们还介绍了带电粒子在电磁场中的运动方程。
静态、球对称电荷分布（包括点电荷）的电场特别简单，但我们还没有解释如何求运动带电粒子产生的场。这在技术上相当复杂，并会引出概念上的深层次问题。
原则上，可以确定与沿轨迹x(t)运动、电荷为q的点粒子相关的电荷密度ρ和电流密度j。电荷密度不是光滑函数，而是高度局域的。类似地，也存在一个局域的电流密度，正比于粒子速度，并且只要q不变，守恒方程(3.29)就得到满足。
麦克斯韦方程组决定了粒子周围的场。电场是静止荷电点粒子场的修正，粒子速度导致了磁场的产生。此外，粒子的加速度会在远离粒子处产生一个向外传播的电磁波。这部分场随离粒子的距离成反比衰减，因此主导了与其他部分场相关的平方反比律衰减。它还带走了一部分能量和动量。已知这些场，就可以研究多个相互作用带电粒子的完整动力学。每个粒子主要受其他粒子产生的场影响，而不受自身自场的影响。
对于N个带电粒子和电磁场，存在一个总作用量。这本质上是粒子作用量和场A与Φ的作用量之和，其中相互作用项仅出现一次。拉格朗日量为
L

N
X
k=1
1
2m(k) dx(k)
dt
· dx(k)
dt

• q(k)A(x(k)(t)) · dx(k)
  dt
  −q(k)Φ(x(k)(t))
  
  +1
  2
  Z
  (E · E −B · B) d3x .
  (3.109)
  其中通常有E = −∂A
  ∂t −∇Φ 和 B = ∇×A。这里的第k个粒子具有质量m(k)、电荷q(k)和轨迹x(k)(t)。将粒子耦合到矢势和标势的相互作用项与方程(3.94)中的相同，但它们也与方程(3.79)中的相同，因为电流密度j和电荷密度ρ具有与N个点粒子相关的高度局域化形式，方程(3.79)中A · j和Φρ的积分约化为方程(3.109)中的求和。

粒子与场的动力学
101
将最小作用量原理应用于这个总系统，可得出以带电粒子为源的麦克斯韦方程组，以及每个粒子的运动方程。棘手的是，作用在每个粒子上的电场和磁场包含了粒子自身场的贡献，而自场在粒子所处位置是奇异的。电自场的主要部分不会产生净力，因为它是球对称的，在球对称带电粒子上平均为零；但自场的某些次主导部分并非球对称，确实会产生作用力。

如果粒子加速并发射电磁波，简单丢弃自作用力将导致矛盾。因为电磁辐射带走了能量，这会使粒子本身损失动能而减速。辐射还带走了动量，若要总体上动量守恒，粒子就必须受到一个补偿力。

约瑟夫·拉莫尔(Joseph Larmor)估算出加速带电粒子的能量辐射率为
1
6π q²
|d²x/dt²|² 。
(3.110)
它与粒子加速度的平方成正比。可以引入一个粒子上的有效自作用力，使其产生等效的动能损失，至少在时间平均的意义上是如此。这个力正比于粒子加速度的时间导数。然而，这只是一个近似，仅在加速度不是很大且变化不剧烈时才成立。之所以是近似，是因为辐射能量必须全局地定义，并且只能通过考虑包围粒子的大球面上的场来计算。从粒子加速到辐射到达这个大球面之间存在延迟，这给反作用的时间定位及其瞬时强度带来了一些不确定性。

大约在1900年，马克斯·亚伯拉罕(Max Abraham)、洛伦兹(Lorentz)等人曾尝试解决这些不确定性，此类努力一直延续至今。一个关键的想法是赋予带电粒子（如电子）一个有限大小的结构。电子需要的半径约为10⁻¹⁵米，与原子核的大小相当。不幸的是，具有这种结构的电子会因其各部分之间的库仑排斥而爆炸，除非有更强的、非电磁起源的未知力将其束缚在一起。

迄今为止，对电子可能存在的内部结构的研究主要停留在理论层面，缺乏实验的指引。这是因为所提出的半径非常小，电磁波穿越这段距离所需的相应时间也极短。实验需要产生频率极高的强场，才能使电子获得足够大的加速度，从而需要对洛伦兹力进行显著修正。目前可用的最强聚焦激光场尚未完全达到这一条件，但借助下一代的激光器，或许有可能研究对洛伦兹力的修正。

总而言之，对场与带电点粒子相互作用进行完全自洽的处理似乎尚不可能，尽管这些问题还没有严重到影响粒子加速器设计和运行的程度。现代的观点认为，所有物质都应该用场来描述。粒子是涌现出来的现象，并非真正是点状的。有一种在数学上极具吸引力的粒子结构理论，我们将在本书结尾处简要讨论。该理论将粒子模型化为一个孤子(soliton)，即一个光滑的局域化结构。

102
场——麦克斯韦方程组
非线性经典场中的结构。尽管孤子确实存在于自然界，但目前还没有太多证据表明它们可以描述像电子这样的基本粒子。

这就是经典电磁理论的终点，也是粒子物理学的起点。高能粒子碰撞探测了电子、质子和中子等粒子的内部结构。这些研究表明，质子具有更小的带电夸克组成的亚结构，而目前还没有证据表明电子具有亚结构。我们将在第12章回到粒子物理学的这些方面，但它们并不属于经典电磁理论的部分。理解粒子物理学需要量子场论，并且人们一度认为量子理论将完全消除与点状粒子相关的困难。尽管量子场论在粒子物理学中取得了成功，但实际情况并非如此。

3.13
延伸阅读
P. Lorrain 和 D.R. Corson，《电磁学：原理与应用》（第2版），纽约：Freeman，1990年。
J.D. Jackson，《经典电动力学》（第3版），奇切斯特：Wiley，1999年。
L.D. Landau 和 E.M. Lifschitz，《场论经典：理论物理学教程，第2卷》（第4版），牛津：Butterworth-Heinemann，1975年。