无标题

14_Cosmology

14
宇宙学
14.1
爱因斯坦的宇宙
1917年，爱因斯坦(Einstein)开创了现代宇宙学时代，当时他研究了广义相对论对整个宇宙结构的影响。爱因斯坦的出发点是，我们在宇宙中并不占据特殊位置，且在最大尺度上，宇宙中充满了密度均匀的物质。他还假设宇宙是永恒的，并且在宇宙时间尺度上是不变的。他很快意识到，要找到一个符合这最后一个假设的模型，他需要修改广义相对论的场方程，增加一个额外的项。这一项具有Λgµν的形式，其中Λ被称为宇宙学常数，gµν是时空度规。与爱因斯坦张量一样，gµν是一个协变守恒的对称二阶张量。它是唯一可以在不破坏场方程(6.47)协变性的情况下添加的项。修改后的爱因斯坦方程为
Gµν −Λgµν = 8πGTµν 。
(14.1)
在牛顿引力的语境下，宇宙项在空间中任意两个物体之间引入了一个额外的力。这是一种与距离成正比的额外普适力。根据Λ的符号，这个力可能像引力一样是吸引的，也可能是排斥的。此外，由于这个力不像通常的引力那样随距离的平方衰减，即使它在短得多的长度尺度上完全无法探测，它也能在宇宙尺度上影响宇宙的结构。
爱因斯坦找到了他修改后方程的一个解，描述了一个静态的永恒宇宙。宇宙项在Λ为正时提供了一个排斥力，平衡了宇宙因其组成物质之间引力吸引而坍缩的趋势。然而，这个模型是不稳定的。任何密度略高于平均值的区域都会发生引力坍缩。任何密度略低于平均值的区域则会无限制地膨胀。爱因斯坦的静态宇宙并非我们所观测到的宇宙。相反，基本方程(14.1)的非静态解为我们提供了在最大宇宙尺度上描述宇宙的最佳模型。
14.2
距离–红移关系
就在一个世纪前，人们还认为银河系构成了整个宇宙，夜空中任何模糊的斑块，比如仙女座星云和大、小麦哲伦云，都被认为是银河系内的气体云。只有当能够更精确地确定天体的距离时，这种观点才可能受到挑战。现在我们知道，仙女座星云是一个与银河系颇为相似的星系，其距离约为银河系直径的25倍。
物理世界。尼古拉斯·曼顿(Nicholas Manton)和尼古拉斯·米(Nicholas Mee)，牛津大学出版社(2017)。
©尼古拉斯·曼顿和尼古拉斯·米。DOI 10.1093/acprof:oso/9780198795933.001.0001

488
宇宙学
在20世纪，人们付出了巨大的努力来构建通往最遥远星系的距离阶梯。太阳系外距离阶梯的第一步是使用视差。如果我们能测量由于地球绕太阳运行导致位置变化所引起的恒星视位置移动，那么通过简单的几何学就能计算出到该恒星的距离。如果视差移动为一角秒，那么到该天体的距离就称为1秒差距(1 pc)，这大约相当于3.26光年。最近的恒星，例如半人马座α星(α Centauri)和天狼星(Sirius)，距离我们只有几秒差距。在1989年至1993年间，依巴谷(Hipparcos)卫星使用这种方法测定了12万颗最近恒星的距离，如第13.2节所述。然后，我们可以利用标准烛光（即可以计算出其内禀光度 L 的天体）进入太空深处。这些标准烛光的内禀光度可以利用依巴谷星表中精确的距离测量值来校准。通过测量它们被观测到的亮度 I，然后使用公式(13.5)，就能得出更遥远天体的距离 d：
I = \frac{L}{4\pi d^2} .
要理解宇宙的大尺度结构，就必须测量宇宙学距离。这些距离以Mpc（兆秒差距）为单位来计算。亨丽爱塔·勒维特(Henrietta Leavitt)于1912年在哈佛大学天文台工作期间，发现了最重要的标准烛光。这些是非常明亮的恒星，被称为造父变星(Cepheid variables)，其光度以有规律的周期变化，并且这个周期与恒星峰值内禀光度相关。这意味着，通过测量周期长度，就可以确定恒星的内禀亮度，从而确定其距离。最近的造父变星是北极星(Polaris)，距离我们约120秒差距，但造父变星足够明亮，可以在最近的星系中被观测到，这意味着它们可以用来将距离阶梯扩展到我们的星系邻居。勒维特通过分析附近矮星系——小麦哲伦星云(Small Magellanic Cloud)中的造父变星，发现了关键的周光关系。该星系中所有的恒星与我们之间的距离基本相同，因此它们观测亮度的差异反映了其内禀光度的真实差异。
埃德温·哈勃(Edwin Hubble)利用勒维特的发现证实了宇宙远比先前认为的要大。他证明了我们的银河系只是众多星系中的一个，并继续估算了众多相对较近星系的距离。他还通过测量这些星系光谱线的多普勒(Doppler)频移，确定了它们朝向或远离我们运动的速率。假设 \Delta\lambda = \lambda_o - \lambda 是波长的移动量，其中 \lambda_o 是从遥远星系到达地球的光中某条光谱线的观测波长，而 \lambda 是地球上实验室中受激原子产生的同一光谱线的波长。那么，该星系的红移 z 定义为波长的相对移动量 \frac{\Delta\lambda}{\lambda} ，并且它与星系远离我们的速度 v 的关系为：
z \equiv \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{v}{c} .
哈勃很快得出结论：星系的退行速率与其距离成正比，
v = H_0 d ,

弗里德曼–罗伯逊–沃尔克宇宙学 489

式中 (d) 是到星系的距离，(H_0) 是比例常数，现被称为哈勃常数。1929年，哈勃(Hubble)宣布了重大发现：整个宇宙正在膨胀。这一观测从此奠定了宇宙学的基石。

现代的哈勃常数值是 (H_0 = 68\ \text{km s}^{-1} \text{Mpc}^{-1})，这意味着一个距离我们 (1\ \text{Mpc} \simeq 3.26) 百万光年的天体，由于宇宙膨胀，正以 (68\ \text{km s}^{-1}) 的速度远离我们。(H_0) 的单位奇特，因为 (1\ \text{Mpc}) 和 (1\ \text{km}) 都是长度单位。更自然的理解是，(H_0) 具有时间倒数的单位，大约是 140 亿年的倒数。因此，哈勃常数是宇宙年龄的一种量度：因为如果让膨胀宇宙在时间上倒行，并保持 (H_0) 不变，那么所有星系将在约 140 亿年前汇聚在一起。

14.3 弗里德曼–罗伯逊–沃尔克宇宙学

宇宙学的标准模型即弗里德曼–罗伯逊–沃尔克宇宙学(Friedmann–Robertson–Walker cosmology)，或简称 FRW 宇宙学。它是爱因斯坦方程 (14.1) 的一个高度对称的解，以亚历山大·弗里德曼(Alexander Friedmann, 1922年首次推导出该解)以及霍华德·罗伯逊(Howard Robertson)和阿瑟·沃尔克(Arthur Walker)（二人在20世纪30年代进行了研究）的名字命名。与第6章考虑的史瓦西(Schwarzschild)度规或克尔(Kerr)度规不同，FRW 宇宙学是随时间演化的。它基于这样一个假设：在最大尺度上，空间是完美均匀且各向同性的。

均匀(homogeneity)意味着三维空间处处相同。由此，四维宇宙时空可以整齐地分割成一系列三维空间切片，它们由一个所有观测者都认同的时间坐标来参数化。这个时间称为宇宙时(cosmic time)。宇宙时类似于牛顿物理学中的时间，区别在于宇宙时空由于光速有限而具有洛伦兹度规。均匀性意味着在宇宙时的任一时刻，空间上所有点几何上都是等价的。这是哥白尼原理(Copernican principle)的现代版本，该原理认为地球并不处于像宇宙中心那样的特殊位置。类似地，我们现在认为银河系（或任何其他星系）在宇宙中也不占据特殊地位。（时空并不均匀，因为宇宙随时间演化。）

各向同性(isotropy)是指，从我们所在的位置（或任何其他位置）看，空间在所有方向上都一样。这意味着宇宙没有旋转，因为旋转轴会破坏各向同性，所以时空度规中不能包含时间和空间之间的交叉项。同时，度规的所有空间分量必须以相同的方式演化。

FRW 模型所基于的均匀性这个关键假设，看来已得到观测的证实。我们稍后会回到观测证据上来。各向同性的假设则被天文学家直接验证，他们观测到各个方向上的星系密度大致相等。

均匀性和各向同性共同作用，极大地限制了宇宙可能的几何形态，并使得物理描述大幅简化。它们意味着空间黎曼曲率张量必须取如下简单形式：

[
^{(3)}R^{ab}_{\ \ \ cd} = C (h^a_c h^b_d - h^b_c h^a_d),
\tag{14.5}
]

其中 (h_{ab}) 是三维度规张量。这个黎曼张量（导出过程见第5章）是常曲率空间最一般的形式。若 (C) 为正，宇宙是球形的，大小有限；若 (C=0)，宇宙是平坦的；若 (C) 为负，宇宙是双曲的。如果 (C) 为负或零，宇宙无限大。

490
宇宙学
将可能的三种空间几何与宇宙时坐标相结合，得到如下用极坐标表示的4维FRW度规：
dτ² = dt² − a²(t)[dχ² + f²(χ)(dϑ² + sin²ϑ dϕ²)] (14.6)
其中，球面空间几何对应f²(χ) = sin²χ，平坦几何对应f²(χ) = χ²，双曲几何对应f²(χ) = sinh²χ。唯一剩下的自由度是尺度因子a(t)，它是宇宙时t的函数。在球面宇宙中，a(t)是与时间相关的半径，空间曲率为K(t) = 1/a²(t)。在双曲情形下，K(t) = −1/a²(t)。即使在空间平坦的情况下，四维时空也是弯曲的。（在下文多数内容中，为简洁计，我们将用a表示a(t)。）

随着宇宙膨胀或收缩，每个星系g在各个时期都保持着相同的坐标标记(χ_g, ϑ_g, ϕ_g)。这些坐标被称为共动坐标(comoving coordinates)。均匀性假设意味着宇宙中的物质不能有任何局域运动。换言之，星系间的随机相对运动可以忽略不计。我们可以选择自身所在位置为χ = 0。相对于我们，χ是径向坐标，而ϑ、ϕ则是天球上的球极坐标。到另一个星系的距离同时取决于χ和a。

用空间笛卡尔坐标来表达FRW几何也是很自然的。所有点都是等价的，但在这些坐标中，我们可以将自己置于原点。此时的度规为：
dτ² = dt² − a²(t) [dx² + dy² + dz²] / [1 + (k/4)(x² + y² + z²)]² (14.7)
其中，曲率特征值k在球面几何、平坦几何或双曲几何情形下分别为+1、0或−1。这里我们使用了3-球面度规的表达式(5.74)，以及其平坦和双曲的类似形式。我们将集中讨论k = 0的平坦几何，因为这是最简单的情形，并且似乎具有最重要的物理意义。度规张量g_μν及其逆g^μν此时具有简单的形式：
g_μν = diag(1, −a², −a², −a²),
g^μν = diag(1, −1/a², −1/a², −1/a²). (14.8)

14.3.1 爱因斯坦方程与FRW度规
至此，我们仅仅从均匀性和各向同性的假设出发，推导出了宇宙可能的几何形式。我们需要证明这些几何形式与广义相对论一致，并满足爱因斯坦方程。这是一个直接且富有启发性的练习。我们暂时假设k = 0且Λ = 0。

度规(14.8)仅有的非零导数是g_{xx,t}、g_{yy,t}和g_{zz,t}，它们都等于−2ȧ a，其中点号表示对时间的导数。因此，非零的克里斯托费尔符号(Christoffel symbols)(5.50)全都具有一个时间指标和两个相同的空间指标。

弗里德曼-罗伯逊-沃尔克宇宙学
491
它们是：
Γ^t_{yy} = Γ^t_{zz} = Γ^t_{xx}
= ½ g^{tσ}(g_{xσ,x} + g_{σx,x} − g_{xx,σ}) = ½ g^{tt}(g_{xt,x} + g_{tx,x} − g_{xx,t})
= −½ g^{tt} g_{xx,t} = ȧ a , (14.9)

Γ^y_{ty} = Γ^y_{yt} = Γ^z_{tz} = Γ^z_{zt} = Γ^x_{tx} = Γ^x_{xt}
= ½ g^{xσ}(g_{xσ,t} + g_{σt,x} − g_{xt,σ})
= ½ g^{xx} g_{xx,t} = ½ (−1/a²)(−2ȧ a)
= ȧ/a . (14.10)

里奇张量(Ricci tensor)(5.41)为：
R_{μν} = Γ^ρ_{μν,ρ} − Γ^ρ_{ρν,μ} + Γ^α_{μν} Γ^ρ_{αρ} − Γ^α_{ρν} Γ^ρ_{αμ} , (14.11)
其仅有的非零分量为：
R_{tt}
= Γ^ρ_{tt,ρ} − Γ^ρ_{ρt,t} + Γ^α_{tt} Γ^ρ_{αρ} − Γ^α_{ρt} Γ^ρ_{αt}
= −Γ^ρ_{ρt,t} − Γ^α_{ρt} Γ^ρ_{αt}
= −Γ^x_{xt,t} − Γ^y_{yt,t} − Γ^z_{zt,t} − Γ^x_{xt} Γ^x_{xt} − Γ^y_{yt} Γ^y_{yt} − Γ^z_{zt} Γ^z_{zt}
= −3Γ^x_{xt,t} − 3(Γ^x_{xt})²
= −3(ä/a − ȧ²/a²) − 3(ȧ²/a²)
= −3ä/a , (14.12)

以及
R_{yy} = R_{zz} = R_{xx}
= Γ^ρ_{xx,ρ} − Γ^ρ_{ρx,x} + Γ^α_{xx} Γ^ρ_{αρ} − Γ^α_{ρx} Γ^ρ_{αx}
= Γ^t_{xx,t} + Γ^t_{xx} Γ^ρ_{tρ} − Γ^x_{tx} Γ^t_{xx} − Γ^t_{xx} Γ^x_{tx}
= Γ^t_{xx,t} + 3Γ^t_{xx} Γ^x_{tx} − 2Γ^x_{tx} Γ^t_{xx}
= Γ^t_{xx,t} + Γ^t_{xx} Γ^x_{tx} = (aä + ȧ²) + aȧ(ȧ/a)
= aä + 2ȧ² . (14.13)

里奇标量(Ricci scalar)则为：
R = g^{μν} R_{μν}
= R_{tt} − (1/a²)(R_{xx} + R_{yy} + R_{zz})
= −3ä/a − (3/a²)(aä + 2ȧ²)
= −6(ä/a + ȧ²/a²) . (14.14)

这给出以下爱因斯坦张量（Einstein tensor）(6.46)的分量：

G_tt = R_tt − ½ R g_tt = −3(ä/a) + 3(ä/a + ȧ²/a²) = 3ȧ²/a² ,

G_yy = G_zz = G_xx = R_xx − ½ R g_xx = aä + 2ȧ² + 3(ä/a + ȧ²/a²)(−a²)
= aä + 2ȧ² − 3aä − 3ȧ²
= −2aä − ȧ² . (14.15)

我们可以用理想流体（ideal fluid）的能量–动量张量（energy–momentum tensor）(6.28)来模拟宇宙的物质内容

T_μν = (ρ + P) v_μ v_ν − P g_μν , (14.16)

其中 ρ 是能量密度，P 是压强。均匀性意味着 ρ 和 P 只能是时间 t 的函数。能量密度表征了气体云、恒星和星系中的物质，也表征了宇宙中辐射的能量。物质相对于共动坐标（comoving coordinates）没有组织化运动，而无规运动的缺失意味着它施加的压强可以忽略不计。压强 P 主要来自辐射。因此，在共动参考系中，v_μ = (1, 0, 0, 0)，度规则如方程(14.8)所示，所以能量–动量张量具有简单形式 T_μν = diag(ρ, a²P, a²P, a²P)，爱因斯坦方程简化为

⎛
⎜
⎜
⎝
G_tt 0 0 0
0 G_xx 0 0
0 0 G_yy 0
0 0 0 G_zz
⎞
⎟
⎟
⎠ = 8πG
⎛
⎜
⎜
⎝
ρ 0 0 0
0 a²P 0 0
0 0 a²P 0
0 0 0 a²P
⎞
⎟
⎟
⎠ . (14.17)

存在一个关于 G_tt 的方程，

3 ȧ²/a² = 8πGρ , (14.18)

和另一个关于 G_xx 的方程，

−2 ä/a − ȧ²/a² = 8πGP . (14.19)

关于 G_yy 和 G_zz 的方程与关于 G_xx 的方程完全相同。爱因斯坦方程通常联系两个对称的秩2张量，因此它由关于度规张量十个分量的十个耦合方程组成，但 FRW 几何（FRW geometry）背后的对称性将爱因斯坦方程简化为仅有的两个方程，它们决定了标度因子（scale factor） a 如何随时间变化。

所有这些代数的回报是一个非常重要的结论。从方程(14.18)和(14.19)中消去 ȧ²/a²，给出

ä/a = − 4πG/3 (ρ + 3P) . (14.20)

基于非常合理的物理假设，即能量密度 ρ > 0 且压强 P ≥ 0，这意味着 ä < 0，即宇宙不可能是静态的；它必定是

弗里德曼-罗伯逊-沃克宇宙学
493
动态的。这正是爱因斯坦在其场方程中引入宇宙学常数 Λ 的原因。据伽莫夫(Gamow)在1960年所述，爱因斯坦将此称为他一生中最大的错误。如果爱因斯坦当初坚持自己不含宇宙学常数的原始场方程并推至其逻辑结论，他本可以预言宇宙的膨胀（或收缩），这或许会成为任何时代任何科学家所能做出的最伟大预言。

如果宇宙正在膨胀且 ä < 0，那么膨胀速率正在减小。这并不令人意外，因为引力是一种吸引作用。膨胀因物质和辐射的引力吸引而减速。

14.3.2 一般的 FRW 宇宙学解
一般的 FRW 宇宙学具有非零的宇宙学常数 Λ，并且可以是球面或双曲的，因此 k 不必为零，而可以是 ±1。方程 (14.18) 和 (14.19) 推广为
3 ˙a²
a² + 3 k
a² = 8πGρ + Λ , (14.21)
−2ä
a − ˙a²
a² − k
a² = 8πGP − Λ . (14.22)
FRW 模型是所有现代宇宙学研究的基础，归结起来就是这两个简单的方程。此外，还需要指定宇宙中物质和能量的类型，以确定 P 与 ρ 之间的关系。

在其历史的绝大部分时间里，宇宙的能量主要以物质静质量的形式被锁定——这些物质构成了恒星和星系。在这种物质主导的极限下，宇宙是一群无相互作用、缓慢运动的粒子集合，P = 0，能量-动量张量为 Tμν = diag(ρ, 0, 0, 0)。然而，在其最初几十万年中，宇宙的大部分能量以辐射或相对论性粒子的形式存在。在第10章中，我们曾指出，对于黑体辐射，ρ = E/V = 3P。这就是辐射主导宇宙中压强与能量密度之间的关系。

这些 FRW 方程最简单的解是静态解，即 a = a₀ 为常数。这就是爱因斯坦静态宇宙。如果它是物质主导的，且 P = 0，那么两个方程要求
Λ = k
a₀²
并且
Λ = 4πGρ . (14.23)
由于 ρ 为正，Λ 也为正，因此 k = 1。爱因斯坦静态宇宙因此是一个有限、球面的宇宙，具有宇宙学常数 ΛE = 4πGρ 和半径 a₀ = Λ^{-1/2}_E。

然而，静态宇宙并非观测所见的宇宙，因此我们需要 FRW 方程的含时解。对第一个方程求时间导数并乘以 a/˙a，我们得到
6ä
a − 6 ˙a²
a² − 6 k
a² = 8πGa ˙ρ
˙a , (14.24)
而将第一个和第二个方程相加则给出
−2ä
a + 2 ˙a²
a² + 2 k
a² = 8πG(ρ + P) . (14.25)

494
宇宙学
左端仅相差一个因子 −3，因此右端也相差相同的因子。于是有
a ˙ρ
˙a = −3(ρ + P) ,
(14.26)
可简化为
adρ
da = −3(ρ + P) .
(14.27)
这被称为连续方程，它是能量和动量守恒的结果。该方程对任意 Λ 和 k 值均成立。

现在假设 P 和 ρ 之间的关系为
P = wρ
(14.28)
其中 w 是常数。w = 0 描述无相互作用的物质，即压强为零的尘埃，而 w = 1/3 描述辐射。连续方程变为
adρ
da = −3(1 + w)ρ ,
(14.29)
这是一个（可分离的）微分方程，其解为
ρa3(1+w) = c ,
(14.30)
其中 c 为常数。对于尘埃，a 的幂次为 3；对于辐射，a 的幂次为 4。对于尘埃，ρa3 为常数正是质量守恒的体现：密度随宇宙体积的增大而减小。对于辐射，ρa4 为常数也不难理解。与物质一样，若宇宙体积增大，光子数密度会成比例地减小，但能量密度还会额外减小，因为波长为 λ 的光子的能量 ε 等于
ε = 2π¯h
λ
.
(14.31)
随着宇宙膨胀，如后文将看到的那样，由于红移，每个光子的波长随 a 增加，因此其能量减小。将此考虑在内，辐射的能量密度正比于 a−4。

将 ρ 代换为关于 a 的表达式，第一个 FRW 方程 (14.21) 简化为
˙a =
1
3ca−1−3w −k + Λa2
 1
2
.
(14.32)
这个微分方程可以积分，必要时可进行数值积分。第二个 FRW 方程 (14.22) 会自动满足，因为我们已经求解了连续方程 (14.29)。FRW 方程可能的宇宙学解汇总于图 14.1 中。

在特殊情况下，解具有简单的闭合形式，例如，无宇宙学常数的平坦宇宙中的尘埃。我们将在第 14.6 节关于大爆炸的内容中推导其中一些解。FRW 方程也可以针对尘埃与辐射的混合物，以及具有奇异压强–密度关系的物质进行求解。

Friedmann–Robertson–Walker 宇宙学
495
增大
宇宙学常数
H0
无大爆炸
= 68 km/s/Mpc （现今）
静态
“滑行”宇宙
负宇宙学常数：
宇宙重新坍缩
无
宇宙学常数
尺度
参数
a
正宇宙学常数：
宇宙永远膨胀
200 亿年前
100 亿年前
现在
时间 t
图 14.1 平坦 FRW 宇宙学（取 w = 0 且宇宙学常数取一系列值）下，尺度参数 a(t) 的曲线图。负宇宙学常数下宇宙重新坍缩。无宇宙学常数时宇宙膨胀减速并渐进停止。正宇宙学常数下宇宙膨胀加速。在哈勃参数 H0 固定于其当前观测值的条件下，宇宙年龄随宇宙学常数增大而增加。

哈勃定律 (14.4) 是 FRW 宇宙学的一个自然特征，至少是一个近似结果。在 FRW 宇宙中，星系不可能存在任何本动，比如流向邻近星系团的运动。星系的速度纯粹源于宇宙的膨胀。如果到一个遥远星系的距离为 d = aχ，其中 a 是尺度参数，那么 d 随 a 增大，而 χ 是固定的，所以该星系远离我们的速率是 v = ˙aχ。如果我们定义
v
d = ˙a
a ≡H0(t) ,
(14.33)
那么，根据定义，方程 (14.4) 就满足了，并且我们已经将哈勃常数与尺度因子的变化率联系了起来。然而，正如我们所见，通常 ¨a < 0，所以哈勃“常数” H0(t) 实际上是一个依赖于时间的参数。仅对于相对近邻的星系，才适合做线性近似并将哈勃参数视为常数。

496
宇宙学
一个常数。宇宙膨胀减速的速率可以用一个称为减速参数的无量纲参数来表示，其定义为
q0 = −¨aa
˙a2 .
(14.34)
14.4
宇宙学红移
FRW宇宙学如何与哈勃关于遥远星系红移的观测联系起来？首先考虑一个辐射分立脉冲的源，例如一颗脉冲星(pulsar)，它每旋转一周就向我们方向发射一个射电脉冲。在其静止系中，脉冲的周期等于脉冲星的自转周期。然而，如果脉冲星正在远离我们，我们探测到脉冲的时间间隔就会大于脉冲星的自转周期，因为每一个后续脉冲都比前一个传播得更远。因此，观测到的脉冲序列频率降低，波长增加。换句话说，脉冲序列发生了红移。类似地，处于宇宙学距离上的脉冲星发出的每一个后续脉冲，由于宇宙的膨胀，都比前一个脉冲传播得更远，所以在这里探测到的脉冲间隔大于脉冲星的自转周期，即脉冲序列因宇宙膨胀而经历宇宙学红移。

在共动极坐标下，来自遥远星系中一颗脉冲星的光脉冲沿径向零曲线(null curve)传播到我们这里，
dτ 2 = 0 = dt2 −a2(t) dχ2 ,
(14.35)
从某个共动半径 χ 处出发，到达我们所在的 χ = 0 处。沿着这条曲线，|dχ| = dt/a(t)。脉冲在时刻 te 发出，在时刻 to 被观测到。每个脉冲实际传播的距离可以通过沿零曲线积分 a(t) |dχ| 得到，而这个距离显然随时间增加。但在FRW模型中，每个星系的共动坐标在宇宙的整个历史中保持不变，因此每个脉冲传播相同的共动距离
χ =
Z to
te
dt
a(t) .
(14.36)
下一个脉冲在短时间 δte 之后发出，并在短时间 δto 之后被观测到，它传播了相同的共动距离，所以
Z to+δto
te+δte
dt
a(t) = χ =
Z to
te
dt
a(t) ,
(14.37)
这两个积分之差为零。这两个积分在几乎整个区间上都重合，因此它们之间差异的唯一贡献来自靠近端点处。因此
Z to+δto
to
dt
a(t) −
Z te+δte
te
dt
a(t) = 0 .
(14.38)
由于尺度参数 a(t) 在脉冲间隔内变化可以忽略，这些剩余积分简化为其被积函数与积分区间的乘积，所以
δto
a(to) −δte
a(te) = 0 .
(14.39)

FRW宇宙学的牛顿解释
497
通过简单的重排，可得
δtₑ
δtₒ
= a(tₑ)
a(tₒ) = ωₒ
ωₑ
,
(14.40)
其中 ωₑ 和 ωₒ 分别代表以规则间隔 δtₑ 发射、以间隔 δtₒ 观测的一列脉冲的发射频率与观测频率。等价地，若 δtₑ 和 δtₒ 是发射光波与观测光波波峰之间的时间间隔，则 ωₑ 和 ωₒ 即为发射光与观测光的频率。
在膨胀的宇宙中，这对应于红移 z = ∆λ/λ，其中
1 + z = λₒ
λₑ
= ωₑ
ωₒ
= a(tₒ)
a(tₑ) ,
(14.41)
因此
z = a(tₒ) − a(tₑ)
a(tₑ)
.
(14.42)
于是，在 FRW 模型中，红移与宇宙的尺度因子 a(t) 之间存在简单的关系。人们常说，当光从遥远星系向我们传播时，宇宙的膨胀会拉伸光的波长。从某种意义上说这是对的，因为波长和频率的改变是空间扭曲的直接结果，但如果由此推断空间以某种方式物理地作用于光波，那将是错误的。一列离散的脉冲会经历完全相同的红移，在这种情况下，脉冲之间并没有任何东西可供空间去作用。一般来说，最稳妥的做法是将频率的变化归因于光的发射点与观测点之间度规的差异。这反映了两点上的共动发射者和观测者在时间和空间测量上的差别。

14.5 FRW宇宙学的牛顿解释

让我们考虑一个 Λ = 0 但 k 未固定的 FRW 宇宙学。将方程 (14.21) 乘以 a²/6，我们得到
1/2 ˙a² + 1/2 k = 4π/3 Gρ a² .
(14.43)
这有一个简单的牛顿解释。
想象一个在平坦牛顿空间中、密度均匀为 ρ、半径为 d = σa 的共动球。其质量为 M = 4/3 π ρ σ³ a³。只要半径很小，相对速度就是非相对论性的，因此物理过程可以用牛顿术语很好地描述。考虑这个共动球周围一个薄壳内一颗物质微粒的能量。由于宇宙被假定为各向同性，从而球对称，该微粒不会感受到球外物质的引力吸引。根据 6.7 节讨论的伯克霍夫定理(Birkhoff’s theorem)，该微粒仅受到球内物质的引力影响。¹ 因此，该微粒的单位质量引力能为
−GM/d = −4π/3 G ρ σ³ a³ / (σa) = −4π/3 G ρ σ² a² .
(14.44)
¹ 这在均匀宇宙中略显奇特，但对于这个物质球却是合理的。

498
宇宙学

由于该球体随动，颗粒相对中心的速度为σ ˙a，其单位质量的动能为1/2 σ² ˙a²，因此单位质量的总能量为
1/2 σ² ˙a² − 4π/3 Gρσ²a² 。 (14.45)
若将其设为常数−1/2 kσ²，即得方程(14.43)，这表明该方程仅仅代表能量守恒，且−1/2 kσ²就是该颗粒单位质量的总能量。

若k < 0，则颗粒动能与引力势能之和为正，该颗粒最终将逃逸至无穷远。（但此颗粒本身或定义其所用的共动球体并无特殊之处。球体半径在计算中消去，因此该结果适用于宇宙中的所有物质。）k < 0对应一个双曲宇宙，这样的宇宙将永远膨胀。若k > 0，颗粒的动能与势能之和为负，因此该颗粒与宇宙中其余物质一起被引力束缚。这对应一个球状宇宙，这样的宇宙最终将发生引力坍缩。最后，若k = 0，动能与势能恰好平衡，我们便得到平坦宇宙。这是最终重新收缩与永远膨胀之间的分界线。它出现于
4π/3 Gρσ²a² = 1/2 σ² ˙a² 。 (14.46)
因此临界密度为
ρ_crit = 3/(8πG) ˙a²/a² = 3H₀²/(8πG) , (14.47)
它仅依赖于当前的哈勃参数H₀。

为确定宇宙的最终命运，人们投入了大量精力去测量ρ。ρ通常以临界密度为单位表示为
Ω = ρ/ρ_crit 。 (14.48)
若Ω > 1，则k > 0，宇宙为球状并将最终收缩。若Ω = 1，则k = 0，宇宙为平坦。若Ω < 1，则k < 0，宇宙为双曲并将永远膨胀。近期分析表明Ω非常接近1，但前提是必须考虑宇宙学常数。这将在第14.9节讨论。

14.6 大爆炸

如果宇宙正在膨胀，那么过去星系以及所有星系际物质必定彼此靠近得多。当时宇宙的能量密度更大，温度更高。看来宇宙最初被压缩成一个点或一个非常小的区域，并由此一直膨胀至今。

宇宙的开端被赋予了一个引人注目的名称——大爆炸(Big Bang)。它有时被描绘成宇宙内部的一次爆炸，而这绝对是错误的。它暗示宇宙是一个预先存在的容器，物质从其中喷涌而出

大爆炸
499
形成恒星和星系涌现出来。这导致了一种误解，即大爆炸发生在某个特定的地点。事实上，如果说大爆炸发生在什么地方，那么它同时发生在每一个地方。这种观点是，根据FRW模型，宇宙的整体——空间、时间和物质——都始于大爆炸。

考虑一个正在被吹大的气球的类比会有所帮助，如图14.2所示。主要的区别在于，气球的表面是二维的，而空间是三维的。随着气球的膨胀，其表面上的每一个点都远离其他每一个点，两个点相距越远，它们彼此远离的速度就越快，就像真实宇宙中的星系一样。我们可以将膨胀反向进行，直到气球上的每一个点汇聚成一个单点，这个点就代表宇宙的起源。从这个角度来看，我们可以看到气球宇宙的每一个点都与它的起源等距，而且气球上的大爆炸是在各处同时发生的。

图14.2 气球宇宙。

14.6.1 宇宙的年龄

我们再次暂时假设Λ = k = 0。在一个物质主导的宇宙中，密度为ρ，压力为零，有ρa^3 = c。将ρ代入方程(14.18)，我们依次得到
˙a^2 ∝ a^{-1},
˙a ∝ a^{-1/2},
a^{3/2} ∝ t,
因此尺度因子按 a ∝ t^{2/3} 变化。这里，时间的原点是大爆炸的时刻，那时a = 0。这个解使我们能够估算宇宙的年龄。假设宇宙在其几乎整个历史中都是物质主导的，
H0(t) = ˙a
a =
2
3t−1
3
t
2
3
= 2
3t−1 .
取现在的哈勃参数为 H0 = 68 km s^{-1} Mpc^{-1}，这给出宇宙的年龄为 2/3 · 1/H0，大约100亿年，如图14.1中标有“无宇宙学常数”的曲线所示。

然而，现在有大量证据表明这个数值低了相当大的幅度。例如，已知最古老的恒星（通常存在于球状星团中）的年龄大于这个值。其解释是宇宙学常数

500
宇宙学

Λ 为正值，并且在当今时代，正是它而非物质密度为宇宙膨胀提供了主要贡献。这一结论是通过综合引力透镜、星系成团性、遥远超新星的亮度-红移关系，以及最重要的——宇宙微波背景的各向异性数据而得出的。根据这些观测得出的自大爆炸以来的当前最佳时间为 138 亿年。我们将在第 14.9 节回到这个主题。
宇宙学项与宇宙的标度因子 a(t) 无关。在时间上回溯，我们会到达一个物质形式的能量主导宇宙学项的时代。再往前回溯许多，在极早期宇宙中，能量的主导形式是辐射。这是因为在一个辐射主导的宇宙中，ρ = 3P，并且方程 (14.28) 和 (14.30) 意味着 ρ ∝ 1/a⁴，因此随着宇宙收缩，辐射的能量含量比物质的能量含量（ρ ∝ 1/a³）增长得更快。
将 ρ ∝ 1/a⁴ 代入方程 (14.18)，我们发现对于一个辐射主导的宇宙：
˙a² ∝ a⁻²，
˙a ∝ a⁻¹，
a² ∝ t。
(14.51)
我们得出结论：在极早期宇宙中，标度因子按照 a ∝ t¹/² 变化，其中 t = 0 同样代表大爆炸的时刻。这个结论并不会因非零的 Λ 或 k 而受到显著影响，因为只要存在任何正数量的物质或辐射，当标度参数 a 趋近于零时，项 8πGρ 将主导那些包含 Λ 和 k 的项。
对于大爆炸的真实性，有着极其有力的证据。首先，正如哈勃(Hubble)所发现的那样，遥远星系的运动表明宇宙正在膨胀，但还有独立的观测证据。过去宇宙的温度和密度要高得多。在其最初的两三分钟内，宇宙将是一个核熔炉，其中聚变反应产生了氘、氦以及痕量的其他非常轻的元素，如锂。（这些条件持续的时间不够长，不足以合成任何更重的原子核。所有更重的元素都是后来在恒星和超新星爆炸中产生的。）测量宇宙中氘、氦和其他轻元素的量是可能的，并且观测数据与大爆炸模型推导出的量高度吻合。特别是氘的量，对早期宇宙的条件非常敏感，这使得天体物理学家能够确定那个时代的能量密度，以及其中以物质形式存在的比例和以辐射形式存在的比例。这对当前宇宙物质密度的估算有影响，一个我们现在将要考虑的问题。

14.7
暗物质
确定宇宙中物质数量的方法有两种。一种是测量其引力效应，另一种是测量由发光天体发出的光的总量。所有天体都有引力吸引，但并非所有天体都会发射或散射光，因此我们预期第一种测量方法给出的结果会比第二种大，事实也确实如此。即便如此，宇宙中大部分物质既不发射也不散射光，这还是相当令人惊讶的。天文学家仅仅因为我们看不见它，就把这种不可见的物质称为暗物质。
有多种方法曾被用来估算构成宇宙的物质密度。例如，一个侧对我们的旋涡星系，其旋转速率可以通过其两侧边缘星光的

暗物质
501
当恒星远离我们运动时，其边缘光线会发生红移，而另一边缘的光线则发生蓝移。通过旋转速率，我们可以推算出引力束缚整个星系所需的总质量。这些测量结果清楚地表明，此类星系的旋转速率极高，如果仅由可见物质构成，它们早已分崩离析。

我们的银河系及许多类似星系周围，都伴随着约100个球状星团(globular clusters)。这些由多达百万颗恒星组成的致密星群，通过引力与星系相连，分布在球状光晕中。对球状星团速度分布的研究表明，宿主星系必然含有大量不可见物质，否则这些星团早已逃逸。其他研究通过分析星系团内星系的运动也得出了类似结论。还有一种完全不同的技术，即如第6.9节所述，利用星系团对更遥远星系的引力透镜效应(gravitational lensing effect)来估算其质量。这些研究一致表明，宇宙中存在大量暗物质。

这引出了一个重大问题：暗物质究竟是什么？目前已有诸多猜想。其中一类候选体是MACHOs(Massive Compact Halo Objects，大质量致密晕天体)。这类天体质量巨大但过于暗淡难以观测，包括燃尽恒星的残骸（如白矮星、中子星或黑洞），以及极暗的恒星（如褐矮星）。倘若星系中确实充斥着巨量MACHOs，那么有一种效应会暴露其存在。当MACHOs与背景恒星偶尔排成一线时，引力透镜效应会使该恒星的亮度骤然飙升。天文学家已对我们银河系光晕中的此类微引力透镜事件(microlensing events)展开系统搜索，结论是此类事件极为罕见，MACHOs无法构成暗物质的主要部分。另一种可能是，暗物质由尚未凝聚成恒星的暗气体云组成。这种可能性同样可以被排除。宇宙学家将此类普通物质称为重子物质(baryonic matter)，因其主要由质子和中子构成。观测到的氘丰度对重子物质密度施加了严格限制，因为氘的原初核合成(primordial nucleosynthesis)极度依赖于早期宇宙的密度。若暗物质由任何形式的量子物质构成，都将破坏观测结果与原初核合成模型之间的一致性。

这就将目光引向了质量谱系另一端的粒子。如今许多物理学家认为，暗物质由海量稳定粒子构成，它们仅与重子物质发生极弱相互作用——正因如此，它们既未与普通物质混合存在，也尚未在宇宙线中被识别。这些粒子被赋予了一个略显异想天开的名字：WIMPs(Weakly Interacting Massive Particles，弱相互作用大质量粒子)。此处的”弱相互作用”是个广义术语，并非特指标准模型中的弱力。WIMPs不参与电磁或强相互作用，否则早该被探测到；它们可能通过弱力、某种未知的更弱作用力，或仅通过引力发生相互作用。

中微子在早期宇宙中曾大量产生，且至今仍在由恒星和超新星不断制造。它们曾一度被认为是暗物质的候选者。然而我们现在知道，中微子的质量过小(mν < 1 eV)，不足以解释全部暗物质。由于质量微小，中微子以相对论性速度运动，被归类为热暗物质(hot dark matter)。

502
宇宙学
在14.10节中，我们将探讨早期宇宙中的星系形成。计算机模拟显示，像星系和星系团这样的复杂结构，只能在一个由冷暗物质(cold dark matter, CDM)主导的宇宙中形成。这有利于以非相对论速度运动的弱相互作用大质量粒子(WIMPs)，这类粒子的质量必定远大于中微子。
总而言之，人们相信暗物质由大量未知类型的稳定粒子组成，它们在极早期宇宙中产生。识别这种粒子是大型强子对撞机(Large Hadron Collider)研究的主要目标之一。同时，在中微子观测站和宇宙射线探测器中，追踪这些难以捉摸的粒子的尝试也在持续进行。人们已经提出了多种可能的残余粒子，其中许多可以在标准模型的扩展理论中找到。一个主要的候选粒子是由被称为超对称(supersymmetry)的理论所预言的最轻奇异粒子，这将在15.5.2节中讨论。

14.8 宇宙微波背景
关于大爆炸最确凿的证据，于1964年由阿诺·彭齐亚斯(Arno Penzias)和罗伯特·威尔逊(Robert Wilson)发现。当时，他们正在新泽西州为贝尔实验室建造一个非常灵敏的天线。他们的设备被背景噪声所困扰，他们起初认为这是设备故障所致。最终，普林斯顿大学的天体物理学家罗伯特·迪克(Robert Dicke)、吉姆·皮布尔斯(Jim Peebles)和大卫·威尔金森(David Wilkinson)给出了解释，他们当时正准备搜寻来自早期宇宙的微波。彭齐亚斯和威尔逊发现了宇宙微波背景(cosmic microwave background, CMB)。早在1946年，伽莫夫(Gamow)和他的团队就已经预言了它的存在。
那么，这些微波究竟从何而来？在太初核合成时期之后，不断膨胀的宇宙由一个炽热的带电粒子等离子体构成，其主要成分是氢核、氦核和自由电子。这个等离子体中充满了光子，它们在原子核和电子之间来回反弹和散射。由于辐射与物质处于热平衡状态，它具有黑体谱(10.111)，其温度等于宇宙的环境温度。
随着宇宙膨胀，能量密度下降，温度也随之降低。经过约38万年的膨胀，等离子体冷却至3100开尔文，这个温度足以让氢原子形成。宇宙学家将此称为”复合(recombination)”，尽管这实际上是原子首次形成的时代。在此之前，任何与质子结合形成原子的电子，都会很快被路过的光子再次撞击出去。然而，随着宇宙的膨胀，波长的红移意味着大多数光子此时已不具备足够的能量。部分原子仍处于激发态，但电离的比例可以忽略不计。正如氢气是透明的一样，当时的宇宙也变得透明了，但它仍然沐浴在温度为3100开尔文的黑体谱光子之中。
此后，这些光子在数十亿年间继续在宇宙中飞驰，宇宙也持续膨胀。这些就是导致彭齐亚斯和威尔逊能检测到的噪声的宇宙微波背景光子。每个光子最后一次与电子或其他带电粒子发生相互作用，是在大爆炸刚结束后不久，自那时起，宇宙的尺寸已膨胀了约1100倍，因此，如14.4节所讨论的，辐射被红移了大约1100倍（z ≈ 1100）。在早期宇宙中，从极其遥远距离发出的可见光，如今可被探测到的波长已处于微波波段。该辐射保留了其黑体谱特征，但现在对应的温度已大大降低。观测到的宇宙微波背景温度仅为2.7开尔文，约为其原始温度的1100分之一。现如今的宇宙每立方米大约包含4.1×10⁸个宇宙微波背景光子。

宇宙微波背景
503
每立方米约有109个CMB光子，其数目远远超过质子。CMB的能量密度远大于星光的平均能量密度。夜空之所以对我们显得如此黑暗，仅仅是因为CMB光子位于光谱的微波区域。

14.8.1 CMB的精确测量
1989年，美国国家航空航天局(NASA)发射了探测器COBE（宇宙背景探测器，Cosmic Background Explorer），用于绘制全天域的宇宙微波背景图。COBE表明，它在所有方向上均匀分布，并拥有迄今测量到的最完美的黑体谱。（当在大尺度上取平均时，星系的分布相当均匀，但其成团性远高于近乎完美均匀的CMB。）计算出的谱与COBE观测结果的比较如图14.3所示。整个天空的CMB具有几乎完美恒定的温度2.726 K。这是我们拥有的最佳证据，表明极早期宇宙中的空间极其均匀且温度一致，因此FRW模型的这一基本假设似乎非常合理。

400
来自COBE的宇宙微波背景谱
COBE数据
黑体谱
350
300
250
200
150
强度 [MJy/sr]
100
50
2
0
4
6
8
10
12
频率 [1/cm]
14
16
18
20
22
图14.3 宇宙微波背景黑体谱。

FRW宇宙学的共动坐标定义了CMB的静止参考系。测量地球相对于该背景的（本动）是可能的。事实上，我们现在知道，太阳系正以370 km s−1的速度朝几乎指向室女座星系团的方向运动。太阳以约250 km s−1的速度绕我们星系中心运行，方向几乎相反。将这些速度合成后，得到我们星系相对于微波背景的速度为627 ± 22 km s−1，方向介于长蛇座星系团和半人马座星系团之间。

504
宇宙学
宇宙微波背景辐射(CMB)在天空中任何微小的温度变化，都包含着关于极早期宇宙结构的关键信息。为了探寻这些变化，COBE的后继者是WMAP(威尔金森微波各向异性探测器，Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)，它于2001年发射，极大地提高了测量的分辨率。图14.4展示了由WMAP生成的一幅覆盖整个天空的图，显示了宇宙微波背景比平均温度略低或略高的区域。蓝色对应低0.0002 K，红色对应高0.0002 K。这些极小的温度变化对应于宇宙大爆炸后仅38万年时宇宙密度的极微小变化。密度较高的区域被认为是随着宇宙演化，最终成长为星系团的种子。大量关于宇宙结构的信息都是从这些微小的温度差异或所谓的各向异性中梳理出来的。2008年，欧洲航天局发射了普朗克探测器，它以更高的分辨率研究了微波背景辐射。

图14.4 根据WMAP收集的数据绘制的整个天空CMB微小变化图，已扣除地球在微波背景辐射中独特运动的影响。

14.9
宇宙学常数
近几十年来宇宙学中最令人惊讶的发现是，爱因斯坦引入后又摒弃的宇宙学常数Λ其实并不为零。这最初是通过使用Ia型超新星进行的距离测量发现的，正如第13.9节所述，Ia型超新星是极好的标准烛光，而且极其明亮，因此可以在极远的距离上被观测到。在大的红移z ≃1处，Ia型超新星比预期的要暗。它们看起来比在没有宇宙学项的平坦FRW宇宙中应有的距离更远。这意味着宇宙在遥远的过去膨胀得更慢；换句话说，宇宙的膨胀正在加速，因此我们的宇宙具有一个正的宇宙学常数。非零宇宙学常数的影响如图14.1所示。

对宇宙学项的解释取决于它被加在爱因斯坦方程(14.1)的哪一边。在左边，它代表对爱因斯坦张量的修正。在右边，它可以被解释为对宇宙能量密度的额外贡献。

星系形成
505

它以某种方式构建在时空结构中。在一个Λ ≠ 0且无物质或辐射的宇宙中，爱因斯坦(Einstein)方程的形式为




Gtt
0
0
0
0
Gxx
0
0
0
0
Gyy
0
0
0
0
Gzz



=




Λ
0
0
0
0
−a2Λ
0
0
0
0
−a2Λ
0
0
0
0
−a2Λ



.
(14.52)

与方程(14.17)比较，那里存在能量-动量项，可以看出宇宙项模仿了能量密度为ρΛ =
1
8πGΛ且具有负压强P = −ρ的物质。这种负压强意味着在方程(14.28)中w = −1。
为了与暗物质相类比，观测到的宇宙项被命名为暗能量。它的起源和精确本质仍然是一个谜。不过，这个类比并不特别准确。暗物质之所以得名是因为它不发光，而不仅仅是因为其成分未知。暗能量也被称为真空能量，一个可能的来源是量子场真空态的能量，如第12章所述。
对宇宙微波背景各向异性的分析，使宇宙学家首次能够精确测量宇宙学参数，并确认Λ为正。我们现在知道宇宙的年龄为13.798 ± 0.037亿年。宇宙的能量密度也已被精确测定。它分为三个部分：
ΩB = ρB(t0)
ρcrit
,
ΩD = ρD(t0)
ρcrit
,
ΩΛ = ρΛ(t0)
ρcrit
,
(14.53)

分别对应于重子物质、暗物质和暗能量。这些组分在当前宇宙时t0的值为
ΩB = 0.047 ,
ΩD = 0.233 ,
ΩΛ = 0.72 ,
(14.54)

因此重子物质只占宇宙能量密度的不到5%，而暗物质几乎占到了四分之一。最引人注目的是，超过70%来自暗能量。光子和中微子也有贡献，但目前可以忽略不计，其值Ωγ ∼Ων ∼10−4。这就给出了重要结果
Ω= ΩB + ΩD + ΩΛ = 1 ,
(14.55)

这意味着宇宙的几何是平坦的：k = 0。
这些参数是FRW宇宙学的基本组成部分，我们已经到达了宇宙学史上一个非凡的时刻——它们的数值已被观测精确测定。FRW模型非常好地拟合了观测证据，提供了对整个宇宙的描述，但至今还没有一个基本理论解释为什么这些参数会取观测值，甚至暗物质是什么也不清楚。暗能量的起源仍然是一个彻底的谜。如果宇宙学和天体物理学以目前的速度继续发展，这些问题可能会在未来几十年内得到解答。

14.10
星系形成

宇宙的FRW模型建立在这样一个假设之上，即宇宙在最大尺度上是均匀的。CMB辐射为这一假设提供了非常好的证据……

506
宇宙学
是有效的，特别是在早期宇宙中。然而，眺望深空，在所有长度尺度上都存在结构；我们看到了星系、星系团和超星系团。我们需要解释这些结构的起源，以及它们如何从几乎完全均匀的初始状态演化而来。这是一个极其困难的非线性问题，只能通过大规模数值模拟来研究。

图14.5 左：当今时代Millennium-XXL模拟中的质量密度场。每张插图从前一张放大8倍；边长从4.1 Gpc变化到8.1 Mpc。所有这些图像都是模拟中厚度为8 Mpc的薄切片的投影。（1 Mpc = 3.26 ×10⁶光年。）右：与左侧质量密度场对应的预测星系分布。

天体物理学家设计了模拟宇宙质量分布演化的软件，旨在检验详细的宇宙学理论。在这些模型中，早期宇宙的微小不均匀性通过引力成团作用增长，导致星系、超大质量黑洞和类星体的形成，以及它们随后的相互作用和演化。这些不均匀性的起源尚不完全清楚，不过一种可能性是它们源于早期宇宙中物质密度或几何的量子涨落。其中一项模拟是由一个名为Virgo联盟(Virgo Consortium)的合作组织建立的；它曾运行在世界上最快的超级计算机上，并生成了100 TB的数据。2010年，他们的Millennium-XXL模拟在膨胀宇宙中模拟了67203 ≃ 3 × 1011个大质量“粒子”在130亿年间的引力相互作用。每个粒子代表7×10⁹ M⊙的质量。根据CMB数据，模拟假设存在冷暗物质和暗能量，用宇宙学常数Λ表示。这一现在标准的表述被称为宇宙的ΛCDM模型。选定的结果展示在图14.5和图14.6中。观测到的宇宙大尺度特征得到了很好的解释。从这类模拟中清楚地看到，我们在宇宙中看到的复杂特征只能在一个含有大量冷暗物质的宇宙中形成。这与CMB和其他观测的分析相一致。

暴胀宇宙
507
目前，模拟的输出正被用作虚拟天文台，以进一步完善我们对早期宇宙的理解。天体物理学家们正在将这些数据与真实宇宙的观测结果进行比较，包括迄今由普朗克(Planck)卫星对宇宙微波背景(CMB)所作的最精确测量，以及通过引力透镜测量推断出的星系团数据。更大规模的观测数据很快将来自位于夏威夷的全景巡天望远镜和快速反应系统(PANSTARRS)。这台配备有14亿像素相机的望远镜将以极高的灵敏度绘制大片天区；每个月将用五个波长巡测六分之一的天空。

2 Mpc/h
图14.6 Millennium-XXL模拟中一个星系团的放大视图。

14.11 暴胀宇宙
支持弗里德曼-罗伯逊-沃尔克(Friedmann-Robertson-Walker, FRW)宇宙学的证据都已齐备。然而，宇宙还存在几个它无法解释的奇特特征。如果宇宙像气球一样膨胀，那么它看起来就应该像气球的表面一样弯曲，但宇宙似乎是平坦的，k = 0。我们都熟悉这样一个事实：当我们环顾四周时，我们附近的大地看起来是平的，尽管我们知道它是球形的。这是因为地球非常大。类似地，如果宇宙在空间上是平坦的或非常接近平坦，那么它必然比我们所能看到的区域要大得多。为什么会这样呢？

当我们仰望夜空时，宇宙在各个方向看起来都一样。考虑到我们相对于室女座(Virgo)星系团的运动，天空一侧的CMB与另一侧的看起来完全相同。这种均匀性表明早期宇宙非常均匀且处于热平衡。尽管这些辐射用了138亿年才抵达我们，但根据传统的宇宙学，产生CMB的相对区域之间不可能有足够的时间来建立因果接触。那么为什么它们具有相同的温度呢？这对宇宙学家来说是一个严重的难题。为着手解决这一问题，我们必须研究粒子……

508
宇宙学
视界，也称为因果视界或宇宙学视界。这是我们可以期望看到的最远距离，相当于黑洞事件视界的宇宙学对应物。
14.11.1 粒子视界
在平坦的闵可夫斯基(Minkowski)时空中，可以看到宇宙的尽头，不存在视界。这是因为闵可夫斯基时空在过去无限延伸，因此有足够的时间让光线从即使最遥远的空间区域到达我们。相比之下，在膨胀的宇宙中，时间仅在过去有限的时期内延伸。既然如此，我们还能期望看到整个宇宙吗？
当趋近时间 t = 0 时，方程(14.21)中依赖于 k 的项变得可以忽略，球形和双曲型宇宙的膨胀速率与平坦宇宙的相当。因此，让我们考虑更简单的、空间平坦的 FRW 度量(14.7)，其中 k = 0。我们可以转换到一个新的共形时间坐标，使得
dt′ = dt / a(t)，
且
t′ = ∫ dt / a(t)。
(14.56)
采用这个新的时间坐标，度量取如下形式
dτ² = a²(t′)(dt′² − dx² − dy² − dz²)，
(14.57)
这是一个闵可夫斯基度量乘以一个与时间相关的共形因子 a²(t′)。这个新版本的度量是共形平坦的，光信号沿着径向线 r = ±t′ + const 传播。改变坐标不会改变时空的因果结构。零测地线保持为零，类时曲线保持类时，类空曲线保持类空，但变换后的度量在回答有关光信号传播和因果效应的问题时更为方便。我们当前位置的宇宙状态仅受到我们过去光锥内部和其上的事件的因果影响。
光信号在初始时刻 tᵢ 和稍后时刻 t 之间能够行进的最大共动距离为
rₕ(t) = t′ − t′ᵢ = ∫_{tᵢ}^{t} dt / a(t)。
(14.58)
rₕ(t) 被称为粒子视界的半径，而到视界的物理固有距离为 dₕ(t) = a(t) rₕ(t)。在闵可夫斯基时空中，时间坐标可以追溯到负无穷大，因此总是有足够的时间让光信号在任意两点之间通过，无论它们之间的距离如何，因而不存在视界。使用我们的新坐标，FRW 时空具有与闵可夫斯基时空相同的因果结构，所以如果 t′ 也追溯到负无穷大，那么 FRW 时空就没有视界。现在，原始的时间坐标 t 只能追溯到宇宙起源时刻 tᵢ = 0。将积分(14.58)的下限设为 tᵢ = 0，我们看到，若该积分收敛，则 rₕ 是有限的，即存在视界；而若该积分发散，则不存在视界。事实上，若
a(t) ∝ tⁿ
(14.59)
且 n < 1，该积分收敛。然而，我们在第 14.6.1 节中看到，在物质主导的宇宙中 a ∝ t^{2/3}，在辐射主导的宇宙中 a ∝ t^{1/2}。两种情况下积分都收敛，因此存在视界。有些空间区域过于遥远，以至于它们的光线或任何粒子

暴胀宇宙
509
共形时间
过去光锥
复合
大爆炸奇点
粒子视界
最后散射面
图14.7 左：展示FRW宇宙中粒子视界的共形图。CMB接收自过去光锥与最后散射（复合）面相交的点。右：宇宙的空间切片，显示两个因果不连通区域对在中心看到的CMB有贡献。
移动得更慢，自大爆炸以来才到达我们这里。因此我们必须接受，宇宙可能比我们所能看到的区域大得多，宇宙的大部分是不可见的。作为补偿，随着时间的推移，我们将能够观察到宇宙越来越大的区域。

图14.7（左）展示了FRW宇宙的共形图。宇宙的历史可以追溯到 a = 0 的奇点。通过结合方程(14.56)和尺度因子表达式 a ∝ t^{2/3}，我们可以确定物质主导宇宙中奇点发生的共形时间。这个表达式意味着 da ∝ t^{-1/3} dt ∝ a^{-1/2} dt，因此
dt′ = dt / a(t) ∝ a^{-1/2} da 。
(14.60)
因此
t′ ∝ a^{1/2}
并且
a ∝ t′^2 。
(14.61)
类似地，在辐射主导情形下 a ∝ t^{1/2}，这意味着 da ∝ t^{-1/2} dt ∝ a^{-1} dt，因此
dt′ = dt / a(t) ∝ da ，
(14.62)
因此
t′ ∝ a 。
(14.63)
在物质主导和辐射主导两种情形下，a = 0 对应于 t′ = 0。图14.7（左）中的每个点都处于其过去光锥的顶点，该光锥定义了它的整个因果过去。图14.7（右）表明，根据FRW模型，当我们观测微波背景时，我们正从大量区域接收光，这些区域在最后散射（复合）时刻发出辐射时绝不可能有过因果接触。然而，从CMB的光谱来看，这

510
宇宙学
发射发生在可见宇宙所有区域的同一宇宙时时刻，因此整个可见宇宙在此时具有完全相同的温度。

14.11.2 暴胀
正如我们刚才所见，FRW模型无法解释微波温度在整个天空的均匀性。1980年，艾伦·古斯(Alan Guth)提出了一个称为暴胀宇宙的模型，提供了一个可能的解决方案。古斯假设宇宙经历了一段短暂的高度加速膨胀时期。在这个暴胀纪元之前，整个可见宇宙存在于一个极微小的体积内，并被认为已达到热平衡。随后，宇宙的不同区域因暴胀膨胀而在因果上相互分离，但保留了相同的温度。

视界距离
视界退出
视界重返
热大爆炸
时间[对数a]
暴胀
粒子视界
图14.8 在极早期宇宙中存在因果联系的区域，在暴胀期间变得因果断开，但之后可能重新建立因果联系。对角线代表宇宙演化过程中一个代表性点到 cosmological horizon (宇宙学视界) 的距离。在图左侧，暴胀期间，视界距离缩小。在图右侧，常规膨胀期间，视界距离增大。水平线对应于距该代表性点的一个固定共动距离。在极早期宇宙，位于此共动距离的任何区域都在该点的视界之内。在暴胀期间，随着视界缩小，这个区域越过了视界。然后，在常规膨胀期间，随着视界扩大，该区域重新进入视界。

这在图14.8中示意性地展示。在宇宙的最初时刻，每个点的因果视界可能涵盖了宇宙的大部分。然后在暴胀期间，每个点的因果视界急剧缩小。为了符合观测证据，暴胀必须大约在宇宙起源后10⁻³⁶秒开始，并持续了相似的时间段，在此期间宇宙的大小至少翻倍了60次。当暴胀结束时，宇宙继续膨胀，但遵循传统FRW模型的稳定膨胀方式。每个点的因果视界随后增长，可观测的宇宙部分随之增加。最终，在早期宇宙中失去因果联系的区域可能会重新建立因果联系。到暴胀结束时，宇宙中任何初始的不均匀性都将被“暴胀”出视野，任何空间曲率也将被拉伸，直到宇宙与平坦宇宙无法区分。

共形时间
过去光锥
复合
再加热
大爆炸奇点
粒子视界
最后散射面
因果联系
图14.9 显示暴胀宇宙中粒子视界的共形图（与图14.7比较）。

使得古斯的想法在物理上可信的是，爱因斯坦方程存在具有这些暴胀性质的解。所需的条件是，在早期宇宙中一个非常短暂的时间段内，尺度因子满足ä > 0。从方程(14.20)我们看到，ä > 0要求ρ + 3P < 0，由于ρ > 0，这产生了条件 P < -1/3 ρ。因此，一个足够大的负压将产生一个膨胀加速的宇宙。

这可以在一个只包含正 cosmological constant (宇宙学常数) Λ 的宇宙中实现。在这样的宇宙中（k=0），FRW方程(14.21)和(14.22)为：
3 ȧ²/a² = Λ , (14.64)
2 ä/a + ȧ²/a² = Λ . (14.65)
这些方程中的第二个是第一个的必然结果，这一点很容易验证。

512
宇宙学
第一个方程可简化为
˙a =
r
Λ
3 a ,
(14.66)
其解为
a ∝exp
r
Λ
3 t
!
.
(14.67)
这个解被称为德西特空间(de Sitter space)，以威廉·德西特(Willem de Sitter)命名。正如暴胀所要求的，
¨a = Λ
3 a > 0。将方程(14.67)与方程(14.56)结合，我们得到
dt′ = dt
a(t) ∝da
a2
因而
t′ ∝−1
a .
(14.68)
因此 a(t′) ∝−1
t′ ，而 a = 0 处的奇点对应于共形时间 t′ = −∞。不存在视界。宇宙的起源被推回到了 −∞。
如图14.9中的共形图所示，这意味着与传统的FRW宇宙学相比，暴胀宇宙学中有充足的时间让宇宙的所有区域达到热平衡。这可以解释微波背景的均匀性。

大爆炸膨胀
暗能量加速膨胀
星系、行星等的形成
WMAP
暴胀
黑暗时代
余辉光图案
40万年
第一批恒星约4亿年
量子涨落
137亿年
图 14.10 宇宙的时间线。

暴胀提供了一种机制，原则上可以解释观测到的宇宙均匀性及其表观平坦性。此外，暴胀还附带为这样一个问题提供了可能的答案：

扩展阅读
513
即星系形成所必需的小的初始不均匀性是如何产生的。在暴胀之前，宇宙的能量密度中不可避免地会存在量子涨落。任何微小的初始高密度区域随后都会暴胀到某个尺度，在那里它们可能形成不均匀性的原始种子，星系和星系团将由此生长。人们已经投入了大量精力来设计能产生与我们宇宙相似的暴胀模型。
暴胀必须在宇宙最早的时期短暂开启以令宇宙暴胀，随后宇宙经历一个相变，暴胀在大约10^{-34}秒这一极短时间后被关闭。宇宙随后的膨胀由传统的FRW模型很好地描述。目前，这种情景只有通过假设新的量子场的存在才可能实现，而最终，恰当的场应该从自然力的统一理论中推导出来。人们正在持续努力从弦论中推导出合适的量子场。
我们目前对大爆炸至今的宇宙演化的理解如图14.10所示。宇宙学在近期取得了惊人的进展，尽管如此，仍有许多未解之谜。

14.12
扩展阅读
E. Harrison, Cosmology: The Science of the Universe (2nd ed.), Cambridge: CUP, 2000.
M. Longair, The Cosmic Century: A History of Astrophysics and Cosmology, Cambridge:
CUP, 2006.
S. Weinberg, Cosmology, Oxford: OUP, 2008.
关于暴胀宇宙学的综述，参见
D. Baumann, TASI Lectures on Inflation, arXiv: 0907.5424v2 [hep-th], 2012.