13_Stars

13
恒星

我们生活在一个拥有数千亿颗恒星的星系中，而这个宇宙中或许存在着万亿个星系。恒星虽然位于极其遥远的地方，但它们对我们存在的意义无论如何强调都不为过。构成我们身体的原子，是在前几代恒星中锻造出来的，而我们赖以为生的必需品——温暖、光和食物——都仰赖于距离我们最近的恒星，太阳。在本章中，我们将伸手摘星。

13.1
太阳

天文学家于18世纪首次确定了太阳系的尺度。根据埃德蒙·哈雷(Edmond Halley)的建议，人们在1761年从多个相距甚远的地点观测了金星凌日，从而得以测量由视差引起的金星位置的表观偏移。再结合一些简单的几何学，便得出了地球到太阳的距离，
d⊙ = 1.50 × 10¹¹ m 。
(13.1)
然后，根据观测到的日轮大小，便能轻易计算出太阳半径。其现代测量值为
R⊙ = 6.96 × 10⁸ m 。
(13.2)
有了日地距离 d⊙ 以及由卡文迪许实验测得的牛顿引力常数 G，再对地球轨道应用开普勒第三定律 (2.100)，便可确定太阳的质量。取 T 为一个地球年，可得
M⊙ = 1.99 × 10³⁰ kg 。
(13.3)
太阳的平均密度 ¯ρ⊙ 低得令人惊讶。根据刚才引用的数据，我们可以计算出
¯ρ⊙ = 3M⊙ / (4πR⊙³) = 1.41 × 10³ kg m⁻³ ，
(13.4)
这仅为水密度的1.4倍，但太阳中心的密度则要高得多。

太阳比任何其他恒星都近得多，我们对它的了解也相当详尽，因此，它是为其他恒星建模的一个良好起点。太阳似乎相当典型，其质量处在恒星可能的质量范围的中间位置，但大约85%的恒星质量都比太阳小。太阳质量 M⊙ 正是给其他恒星排序所用的标准。

The Physical World. Nicholas Manton and Nicholas Mee, Oxford University Press (2017).
© Nicholas Manton and Nicholas Mee. DOI 10.1093/acprof:oso/9780198795933.001.0001

444
恒星

太阳近似于一个完美的球体。它自转得相当缓慢，完成一整圈自转大约需要一个月的时间。太阳由一团翻滚的等离子体构成。该物质的任何脉动一定都非常平缓，否则太阳的光度就会发生变化。

太阳会受到共振振荡的影响，这种振荡可通过它们产生的谱线多普勒频移来监测。尽管这些振荡并未显著影响我们将要讨论的恒星模型，但它们为天文学家提供了一扇窥探太阳内部的窗口。对这些波动的分析使天文学家能够测量太阳内部的密度、温度和压力分布，并证实了远在所有这些信息可获得之前发展起来的恒星模型的有效性。

13.2
赫茨普龙-罗素图

图13.1 通过测量邻近恒星的位置在地球绕太阳运动时产生的微小偏移，可以确定到它们的距离。

到邻近恒星的距离，可通过测量它们在地球绕太阳运动时在天空中位置的微小偏移来确定，如图13.1所示。在1989年至1993年间，欧洲空间局的喜帕恰斯(Hipparcos)卫星测定了近12万颗我们最近的恒星邻居的距离。这种精确的天体测量构成了宇宙距离阶梯的第一步，最终使天文学家能够推断出远至最遥远星系的天体的距离。这也支撑了我们对恒星天体物理学的理解，因为它提供了已知距离的多种恒星类型样本，从而可以确定它们的内禀光度。图13.2展示了对一颗恒星位置进行的一系列喜帕恰斯测量的结果。

455
赫罗图
50
50
0
0
–50
–50
–100
–100
–150
–150
–200
∆ cos [mas]
δ
α
∆ [mas]
δ
图13.2 依巴谷星表中某天体三年间在天空中的轨迹。每条直线标示了该恒星在特定历元的观测位置。曲线是根据所有测量数据拟合出的恒星运动模型。每个历元的推断位置用圆点表示。振荡运动的幅度反映的是恒星的视差，线性部分则代表恒星的自行。单位为毫角秒（mas）。

恒星的视亮度（或称表观光度）是地球表面垂直于视线方向的单位面积上接收到的光能速率。辐射强度随距离的平方成反比衰减，因此若已知某恒星的距离d，即可利用其视光度I，通过公式
I =
L
4πd²
(13.5)
计算出该恒星的固有光度（即绝对光度）L。
恒星的第二个基本特征是其表面温度Tsurf，该温度可借助黑体辐射的维恩定律（10.109）¯hωₚₑₐₖ = 2.8214 Tsurf得出。该定律可转化为
Tsurf = 2.898 × 10⁶ / λₚₑₐₖ
(13.6)
其中Tsurf的单位为开尔文（K），λₚₑₐₖ 表示辐射峰值强度对应的波长，单位为纳米（nm）。例如，太阳辐射的峰值位于光谱的绿色波段，波长约为500 nm，对应的表面温度T_⊙_surf ≃5800 K。夜空中许多恒星辐射的峰值波长介于红光与蓝光之间，因此太阳在此方面颇具代表性。

446
恒星
参宿七
天津四
4,000
6,000
7,000
表面温度 (K)
10,000
30,000
老人星
不稳定带
太阳
巴纳德星
比邻星
牛郎星
天琴座RR型星
毕宿五
米拉
心宿二
参宿四
仙王座μ星
仙王座δ星
超巨星 (I)
巨星 (II, III)
次巨星 (IV)
天狼星
天狼星B
白矮星 (wd)
主序星 (V)
南河三B
OS
BO
AO
10⁵
10⁴
10³
10²
10⁻¹
10⁻²
10⁻³
10⁻⁴
10
1
FO
GO
光谱型
光度（与太阳光度之比）
KO
MO
色指数 (B-V)
–0.5
0.0
+0.3
+0.6
+0.8
+0.9
+2.0
轩辕十四
水委一
图13.3 赫罗图。以恒星的光度L（以太阳光度L⊙为单位）的对数作为纵轴，以其表面温度Tsurf（由发射辐射的峰值波长导出）的对数为横轴进行绘制。

恒星的这两个特征——光度和表面温度——是解开诸多其他性质的关键。自1910年前后起，人们便开始将它们绘制在由埃希纳·赫茨普龙(Ejnar Herzsprung)和亨利·诺利斯·罗素(Henry Norris Russell)开创的赫罗图(HR diagram)上，如图13.3所示。图中纵轴为固有光度L的对数，横轴为表面温度Tsurf的对数。赫罗图有一个惯例上的特点，即沿水平轴向左温度递增。天体物理学家面临的一大挑战，就是解释赫罗图中呈现出的各类格局。

赫罗图上并非所有区域都均匀地分布着恒星。绝大多数恒星占据着一条从右下斜贯至左上的对角线带上：右下角是温度较低、较为暗淡的恒星，左上角则是炽热明亮的恒星。这条带被称为主序带。太阳便位于主序带上，我们大部分近邻恒星，如天狼星和织女星亦然。我们在主序带上看到如此众多的恒星，原因在于这是恒星度过其大部分生命时光的区域。

恒星的诞生
447
赫罗图上还有少量位于主序之外的恒星。在图的右上角有一些非常明亮但相对较冷的恒星。这些恒星已膨胀到巨大的尺度，从而获得了极高的光度，但它们的外层温度较低。它们被称为红巨星(red giants)。在红巨星上方是尺度更大、光度更高的超巨星(supergiants)。巨星和超巨星虽然罕见，但由于极其明亮，在我们的夜空中占比很高。毕宿五(Aldebaran)、心宿二(Antares)和参宿四(Betelgeuse)等恒星就位于赫罗图的这一区域。超巨星的巨大尺度早在1920年就得到了阿尔伯特·迈克耳孙(Albert Michelson)和弗朗西斯·皮斯(Francis Pease)的证实，他们在加州威尔逊山天文台建造了一台干涉仪，并测量了参宿四的直径。更近期的测量表明，其直径约为太阳的1000倍，但这并不精确，因为参宿四的大小和形状都在变化，而且它没有清晰的边界。

在赫罗图的左下角，有一条由高温但非常暗弱的恒星组成的带。这些是白矮星(white dwarfs)。白矮星是耗尽了核燃料的恒星被高度压缩后的核心。它无法产生能量，因此在向太空辐射热量的过程中逐渐冷却。没有白矮星是肉眼可见的。最近的例子是 Sirius B（天狼星B），它是天狼星的伴星，其轨道曾在第2.10.1节中讨论过。

13.3 恒星的诞生
恒星通过主要由氢和氦组成的气体云的引力坍缩形成。随着云团坍缩，引力能释放出来，云团温度升高，由此产生的热压强抵抗进一步的坍缩。要使坍缩持续进行，部分释放的引力能必须辐射到太空中。但是，被称为原恒星(protostar)的天体是不透明的，因此辐射扩散到其表面需要相当长的时间。因此，这一坍缩阶段可能持续一千万年甚至更长。最终，原恒星的中心区域达到足够高的温度，核聚变反应开始，产生的热压强阻止了进一步的坍缩。原恒星变成了主序星，这一阶段可能持续数十亿年。

13.3.1 恒星的化学成分
恒星的化学组成最早由塞西莉亚·佩恩(Cecilia Payne)在20世纪20年代确定。借助光谱学，她发现恒星几乎完全由氢和氦组成，这在当时完全出乎意料。我们现在知道，恒星是由气体云凝聚而成的，这些气体云的质量大约四分之三是氢(¹H)，四分之一是氦-4(⁴He)。几乎所有这些氦都是在紧随大爆炸(Big Bang)之后的原初核合成中产生的。原初物质的密度不足以通过聚变反应产生除微量其他轻同位素之外的任何更重元素，如氘(²H)、氦-3(³He)和锂-7(⁷Li)。除了大爆炸后不久形成的第一代恒星外，所有恒星都还含有少量由前几代恒星合成的更重元素。这些重元素占形成太阳的物质质量的1.69%，这一比例虽小却很重要。

恒星或原恒星内部的温度远高于氢原子和氦原子能够存在的温度，因此恒星由解离的电子、质子和氦核以及少量的更重离子组成。这种高温电离物质被称为等离子体(plasma)。它可以被视为由电子和离子组成的理想气体。因此，适用的状态方程是理想气体状态方程(10.65)。无论是电子还是离子

448
恒星
对气体压强 (P) 也有贡献，而对于无相互作用的气体，分压是可加的¹，因此
[
P = \frac{(N_e + \sum_i N_i)}{V} T = \left( n_e + \sum_i n_i \right) T \tag{13.7}
]
其中 (N_e) 和 (N_i) 分别是恒星体积 (V) 中的电子和各种离子数目，而 (n_e = N_e/V) 和 (n_i = N_i/V) 是电子和离子的数密度。用质量密度 (\rho = n_e m_e + \sum_i n_i m_i) 来表达 (P) 更为方便。电子质量 (m_e) 与离子质量 (m_i) 相比可以忽略，因此在一个非常好的近似下 (\rho = \sum_i n_i m_i)。于是
[
P = \frac{n_e + \sum_i n_i}{\sum_i n_i m_i} \left( \sum_i n_i m_i \right) T = \frac{1}{\mu m_p} \rho T , \tag{13.8}
]
其中
[
\mu m_p = \frac{\sum_i n_i m_i}{n_e + \sum_i n_i} \tag{13.9}
]
是等离子体中粒子的平均原子质量，写成了质子质量的倍数。

显然，(\mu) 依赖于等离子体的成分。如果等离子体由氢构成，那么它包含相等数量的质子和电子，所以 (\mu = \frac{1}{2})。如果等离子体是纯 (^4\mathrm{He})，那么每个原子核对应两个电子，而每个核的质量在很好的近似下是 (4m_p)，所以 (\mu = \frac{4}{3})。因此，随着恒星核心中的氢转化为氦，(\mu) 会增加。太阳形成时，按质量计大约是四分之三的氢离子和四分之一的氦离子，每个氢离子对应一个电子，每个氦离子对应两个电子。质量比为 (\frac{3}{4}) 比 (\frac{1}{4}) 对应于数量比为 (\frac{3}{4}) 比 (\frac{1}{16})，所以最初
[
\mu_\text{primordial} \simeq \frac{(\frac{3}{4} \times 1 + \frac{1}{16} \times 4)}{(\frac{3}{4} + 2 \times \frac{1}{16} + \frac{3}{4} + \frac{1}{16})} = \frac{16}{27} \simeq 0.59 , \tag{13.10}
]
据估计，对于太阳核心目前的成分，(\mu_\odot \simeq 0.62)。

13.3.2 维里定理

我们将把一颗典型恒星模型化为一个成分均匀、处于热平衡状态的完美球形气体球。恒星演化缓慢，可以被当作准静态的来处理。这是合理的；我们知道太阳在数十亿年里一直非常稳定。在如此漫长的时间里，即使光度发生相对较小的变化，也会使地球上的生命灭绝。因此，我们假设恒星没有脉动，也忽略其自转。

令 (M) 为这个恒星模型的总质量，(R) 为其半径。质量并非均匀分布在恒星内，而是向中心聚集。我们定义径向质量函数 (m(r)) 为距中心 (r) 以内的质量。(m(r)) 的取值范围是 (0 \le m(r) \le M)，且 (m(0)=0)，(m(R)=M)。(m(r)) 与密度 (\rho(r)) 的关系为
[
\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho . \tag{13.11}
]
球对称的假设意味着压强、温度和向外的能流 (P(r))、(T(r)) 和 (F(r)) 均与角度无关。(F(R))，即向外的能流……

¹ 这被称为道尔顿(Dalton)分压定律。

恒星的形成
449
表面处的通量，即为光度L。（为简洁起见，下文大部分地方我们将省略这些变量对r的显式依赖关系。）
dr
g(r)m(r)
P(r)
P(r+dr)
dA
r
m(r) = (r)drdA
图13.4 流体静力平衡。
整个星系中遍布着气体云，而这些就是新恒星形成的摇篮。两团气体云的碰撞，或来自超新星爆发的冲击波，都可能导致气体区域在引力作用下坍缩。随着气体收缩，引力能被释放出来，加热气体，而随着温度升高，向空间发射的热辐射也随之增加。
有一个非常简单的、称为维里定理(virial theorem)的关系式，它将恒星的引力能与其热能或内能联系了起来。在一颗稳定的恒星中，引力作用下的坍缩趋势被等离子体内施加的热压所平衡。
考虑恒星内部位于r和r+dr之间的一个等离子体小体积元dV = dr dA，其质量为ρ(r) dr dA，如图13.4所示。由于引力作用在这个质量元上的向下的力是g(r)ρ(r) dr dA，其中g(r) = Gm(r)/r²。由于热等离子体热压产生的向上的力是−dP/dr dr dA，其中−dP/dr dr是底面和顶面之间的压强差。令这些力相等，我们得到流体静力平衡方程：
dP/dr = −Gmρ/r²， (13.12)
这个方程可以假定在恒星内部处处成立。
恒星在半径r内的体积为V(r) = 4π/3 r³。在方程(13.12)左边乘以V(r) dr，右边乘以4π/3 r³ dr，得到：
V dP = −(4πG/3) mρ r dr。 (13.13)
球壳内的质量为dm = 4πr²ρ dr，因此消去dr，改用dm表示，得到：
3V dP = −(Gm/r) dm。 (13.14)

450
恒星
从恒星中心积分到表面，我们得到：
3 ∫_{P_cen}^{P_surf} V dP = −∫_{0}^{M} (Gm/r) dm， (13.15)
其中P_cen和P_surf分别是恒星中心和表面的压强。
对左边进行分部积分，给出：
∫_{P_cen}^{P_surf} V dP = [PV]{cen}^{surf} − ∫{0}^{V_surf} P dV
= −∫_{0}^{V_surf} P dV，
= −∫_{0}^{M} (P/ρ) dm， (13.16)
这里我们用到了恒星中心体积为零，以及表面压强为零的简单观测事实，并在最后一步代入了dV = (1/ρ) dm。将此结果用于方程(13.15)，即得到维里定理：
3 ∫_{0}^{M} (P/ρ) dm − ∫_{0}^{M} (Gm/r) dm = 0。 (13.17)
由于−Gm/r是半径r处的引力势，第二个积分是恒星的总引力势能，记作Ω。这是一个负值。|Ω| 是通过引力结合恒星质量所释放的能量大小。（或者，它也是使构成恒星的所有粒子远离其相互引力吸引所需的能量大小。）
如果我们假设理想气体定律在恒星内部成立，那么根据方程(10.54)，单位体积等离子体粒子的总热能是 (3/2)(ne + ∑i ni) T。单位体积的质量是∑_i ni mi，因此单位质量的热能为：
u = (3/2) * (ne + ∑_i ni) / (∑_i ni mi) * T， (13.18)
其中ne和ni分别是电子和离子的数密度。由方程(13.8)和(13.9)组合给出的理想气体定律为：
P/ρ = (ne + ∑_i ni) / (∑_i ni mi) * T， (13.19)
所以：
P/ρ = (2/3) u， (13.20)
这是一个在恒星内部处处成立的简单关系。从恒星中心积分到表面，我们得到：
3 ∫{0}^{M} (P/ρ) dm = 2 ∫_{0}^{M} u dm = 2U， (13.21)

恒星的诞生
451
其中U是恒星的总热能。位力定理(virial theorem)(13.17)现在简化为
2U + Ω = 0，
或
U = 1/2 |Ω|。
(13.22)
它将恒星的热能与引力能联系起来。

我们得到这一结果时假设了理想气体定律成立。如果等离子体粒子相对于粒子间距很小，并且粒子可以被视为自由的，以至于它们的能量仅由动能组成，且不存在由于粒子间相互作用而产生的电磁势能，那么这是一个很好的近似。在等离子体中，最大的粒子是原子核，其尺寸远小于原子，因此这些条件一直保持到压强达到极高的值。在恒星生命的大部分时间里，我们可以假设理想气体定律很好地描述了等离子体。(注意白矮星(white dwarf)非常致密，由电子简并压支撑，此时电子的费米子性质很重要，所以理想气体定律不成立，下面的讨论将不适用。)

在下一节中，我们将探讨位力定理对恒星形成的意义。我们熟悉日常的固体物体冷却时对其物理结构没有明显影响。恒星遵循理想气体定律，这意味着它们的行为相当不同。

13.3.3 恒星形成
当气体云或原恒星(protostar)在其自身引力下收缩时，其引力束缚能 Ω 变得更负，位力定理意味着原恒星的热能 U 必然增加。这意味着原恒星的温度将升高，导致辐射发射增加。因此，原恒星将失去能量，并且由于它是理想气体，原恒星内部的压强将下降，导致进一步收缩，并进一步释放引力束缚能，再次提高热能。所以随着原恒星失去能量，它会变热。这是引力系统的一个普遍特征，有时被称为负热容。

总能量必须守恒，因此方程(13.22)意味着恒星形成时释放的引力束缚能的一半加热恒星，成为恒星的热能，而另一半束缚能则辐射到太空中。事实上，气体云除非能以这种方式失去一半的束缚能，否则无法收缩形成恒星，但是，与热石头(或白矮星)不同，理想气体不能在辐射和冷却时不显著降低压强。幸运的是，原恒星和恒星通过辐射光子来损失能量是相当困难的，否则它们会迅速坍缩。由于恒星由带电粒子等离子体组成，它们是不透明的，因此光子不经过与电子和离子的无数次相互作用就无法离开恒星。

不透明度是衡量光子在相互作用前可以行进的距离的量度。光子的平均自由程为 ¯l = 1/(κρ)，其中 κ 是单位质量不透明度。在低温和极高温下不透明度都低。在高温下，比如恒星核心的温度，大多数光子具有非常高的能量，不容易被吸收，不透明度的主要原因是自由电子对光子的散射。太阳的中心密度约为 10^5 kg m−3，单位质量不透明度约为 0.1 m2 kg−1，因此光子在电子散射前行进的距离仅为 ¯l = 1/(κρ) ≃10^{-4} m。对于给定的等离子体成分，在恒星内部发现的温度和压强下

452
恒星
在恒星核心，不透明度作为一级近似是恒定的。当我们向外穿过恒星时，不透明度随着温度下降而增加，但关键的是，不透明度维持着等离子体和辐射的热平衡。在更低的温度下，例如红巨星外包层中可能出现的情况，原子形成，这急剧降低了不透明度，因为大多数光子没有足够的能量来电离原子，且可散射光子的离子和自由电子很少。

对于一颗收缩中的原恒星来说，要达到稳定密度并停止收缩，原恒星内部必须触发一个能量源。在人们首次建立恒星模型时，这个能量源还是一个谜。我们现在知道，原恒星会持续收缩，直到其核心达到足够高的温度以启动核聚变。释放的能量提供了热压力，阻止了进一步收缩。原恒星此时已成为一颗恒星。它的一半引力束缚能已辐射到太空中，另一半则构成了恒星的初始热能。只要核燃料继续燃烧，恒星就保持稳定，其引力束缚能也保持不变。同样，恒星的热能及其温度分布也保持固定。这意味着只要流体静力学平衡得以维持，从恒星表面辐射能量的速率必然等于其核心聚变产能的速率。

那么，一颗恒星形成需要多长时间呢？这就是恒星辐射掉其一半引力束缚能所需的时间。这被称为恒星的热时标。它可以估计为
τth ≃|Ω|
2L ≃GM 2
RL ,
(13.23)
其中 L 是恒星的光度，GM 2
R
是对束缚能的估计，精确到一个接近 1 的数值因子。太阳的光度为 L⊙= 3.846 × 10^26 W。如果我们把太阳的质量 M⊙和半径 R⊙代入方程(13.23)，我们会发现
τ⊙th ≃1.6 × 10^7 年。这是对一团气体云收缩形成一颗具有太阳质量恒星所需时间的大致估计。19 世纪的物理学家曾试图用这种方法来确定太阳的年龄，他们错误地认为太阳的光度完全由其引力收缩释放的能量提供。基于此，开尔文(Kelvin)和亥姆霍兹(Helmholtz)估计太阳的总寿命不会比热时标长太多，但这与地质学家和生物学家推导出的地球年龄相矛盾。物理学家被证明是错误的，而解决之道在于核聚变能的发现。

热时标也代表了太阳核心内产生的能量扩散到表面所需的时间。如果一个在太阳中心产生的光子在离开太阳前没有发生相互作用，它将在几秒钟内到达表面，但在太阳内部，光子在被散射、吸收和由等离子体中的电子及其他带电粒子重新发射后才逃逸到太空中，这个过程不断发生。

太阳也通过其中微子(ν)流损失能量，其光度为
Lν⊙= 0.023L⊙
(13.24)
这是由诸如日本超级神冈探测器(Super-Kamiokande)等中微子探测器测量得到的。中微子的平均自由程远大于恒星的半径，因此中微子辐射意味着核心能量的瞬时损失。中微子发射意味着热能

恒星结构
453
聚变反应的产能将低于正常情况，因为中微子能量未能被束缚在恒星内部，因此无法为支撑恒星的热压力做出贡献。为了维持流体静力平衡，核心内部的温度和压力必须高于原本所需的水平，这就要求核燃料燃烧得更快并释放更多能量。这在太阳中是一个相对较小的效应，但因中微子发射导致的能量损失，极大地提高了大质量恒星在后续阶段燃料燃烧的速率，从而戏剧性地缩短了这些阶段。

13.4 恒星结构
建立恒星模型是一个复杂的问题，涉及热力学、流体动力学和核物理。现在已有非常完善的计算机模型，能够精确描述各类恒星的结构和演化。基于计算机的计算扮演着非常重要的角色，但并非总能提供对底层物理的深刻洞察。幸运的是，通过研究简化模型可以收集到恒星结构的许多基本细节，因此我们将集中关注于此。随后，通过考虑通过数值计算获得的精确结果，可以进一步深化这一洞见。

我们将假设恒星是静态的，并处于热平衡状态，其核心内部存在能量源，且具有均匀的化学组成但非均匀的密度。这意味着忽略恒星随时间的任何演化，比如其核燃料的消耗。这些假设适用于刚从气体云中凝聚形成并在核心内启动聚变反应的年轻恒星。我们将看到，它们为理解主序星提供了一个出发点。在不了解恒星核心内部能量源的情况下，也能推断出关于恒星的许多信息。事实上，许多关于恒星结构的基本原理，是在聚变能量被理解之前，由爱丁顿(Eddington)研究得出的。

绝大多数恒星位于主序带上，该主序带在赫罗图(HR diagram)上形成一条对角线。由于图中绘制的是 $\log L$ 对 $\log T_{\text{surf}}$ 的关系，这意味着光度与表面温度之间存在如下关系

$$
L \propto T_{\text{surf}}^a,
$$
(13.25)

其中 a 是该直线的斜率。实际上，对最亮的恒星而言，主序带的斜率比平均亮度的恒星更大。这可以通过假设主序星由其核心的氢聚变反应提供能量来解释。我们将根据这一假设推导出描述主序带两部分斜率的光度-温度关系。

半径为 r 处单位质量的能量产生率，记作 $q(r)$，可近似表示为

$$
q = q_0 \rho^b T^n,
$$
(13.26)

其中指数 b 和 n 取决于聚变过程。大多数聚变反应涉及两个粒子的碰撞。此类反应的速率与密度的平方 $\rho^2$ 成正比，因此单位质量的能量产生率 q 与 $\rho$ 成正比，故而 b = 1。对于三粒子过程，碰撞速率与 $\rho^3$ 成正比，因此 q 与 $\rho^2$ 成正比，所以 b = 2。能量通量满足

$$
\frac{dF}{dr} = 4\pi r^2 \rho q.
$$
(13.27)

454
恒星
在核心内部，能量正在产生，因此 q > 0，穿过一个球壳的能量通量 F 随 r 增大而增加。核心边缘之外 q = 0，所以 F 保持恒定。

我们还需要一个方程来确定能量在恒星内部的传输方式。光子不断被等离子体中的电子和离子散射、吸收和发射，从而使辐射与等离子体达到热平衡。因此，辐射是各向同性的，具有黑体谱，热量只是由于从核心到恒星表面有一个非常缓慢的温度梯度而稳定地向表面扩散。就太阳而言，平均梯度仅为 T⊙cen / R⊙ = 1.6×10^7 / 7.0×10^8 K m⁻¹ ≃ 0.023 K m⁻¹。

爱丁顿(Eddington)通过考虑位于径向距离 r 和 r+dr 之间的一片物质吸收动量的速率，找到了温度梯度与能量通量之间的关系。单位面积的能量通量为 F / (4πr²)，因此单位面积的一片物质吸收的能量为 F κρ / (4πr²) dr，其中 κ 是单位质量的不透明度。

对于光子，p = E，因此吸收的动量等于吸收的能量。吸收的动量导致一个辐射压梯度，所以
Fκρ / (4πr²) = −dPrad / dr 。 (13.28)

在第十章中，我们已说明黑体辐射压由方程(10.115)给出，
Prad = (4/3) σ T⁴ ， (13.29)
其中 σ = π²/(60 ħ³) 是斯特藩–玻尔兹曼常数。这意味着
dPrad / dr = (16/3) σ T³ dT / dr 。 (13.30)

结合方程(13.28)和(13.30)，我们得到爱丁顿关系式
dT / dr = − (3 / (64π)) (κρ / (σ T³ r²)) F 。 (13.31)

光子的缓慢扩散是能量穿过恒星传输的主要机制。辐射压与等离子体不透明度的共同作用，是维持恒星内部温度梯度的原因。然而，抵抗引力坍缩支撑恒星的是热等离子体压（主要来自电子），而非辐射压。尽管如此，对于质量更大的恒星，辐射压变得越来越重要。质量显著高于太阳的恒星，会因辐射压将粒子从星体外层向外推入太空，而逐渐失去大部分外层包层。此外，质量极大的恒星因其产生的巨大辐射强度而不稳定。辐射压给稳定恒星的质量设定了一个上限，这个上限被认为约为 120 M⊙。

恒星结构
455
13.4.1 结构函数
利用方程(13.11)，将所有恒星变量用径向质量函数(m(r))而非径向位置(r)来表示会很方便，该方程可写为
[
\frac{dr}{dm} = \frac{1}{4\pi r^2 \rho}.
\tag{13.32}
]
利用此式可将流体静力学平衡方程(13.12)变换为
[
\frac{dP}{dm} = \frac{dP}{dr}\frac{dr}{dm} = -\frac{Gm}{4\pi r^4}.
\tag{13.33}
]
类似地，由方程(13.27)和(13.26)可得
[
\frac{dF}{dm} = \frac{dF}{dr}\frac{dr}{dm} = q_0 \rho^b T^n,
\tag{13.34}
]
由方程(13.31)可得
[
\frac{dT}{dm} = \frac{dT}{dr}\frac{dr}{dm} = -\frac{3}{16}\frac{\kappa F}{\sigma T^3 (4\pi r^2)^2}.
\tag{13.35}
]
加上理想气体定律(13.8)
[
P = \frac{1}{\mu m_p} \rho T,
\tag{13.36}
]
我们便得到了关于(r, \rho, P, F)和(T)的五个耦合非线性微分方程(13.32)–(13.36)。

通过对这些方程进行量纲分析，我们可以推断出主序星结构的许多信息。定义质量分数为
[
x(r) = \frac{m(r)}{M},
\tag{13.37}
]
这将有助于比较不同质量的恒星。我们可以将(r(m), P(m), \rho(m), T(m))和(F(m))替换为关于(x)的无量纲函数，如下所示：
[
r = f_1(x) R_*, \quad
P = f_2(x) P_*, \quad
\rho = f_3(x) \rho_*, \quad
T = f_4(x) T_*, \quad
F = f_5(x) F_*.
\tag{13.38}
]
对于任意一颗恒星，(R_*, P_*, \rho_*, T_*)和(F_*)都是有量纲常数。它们随恒星总质量(M)的不同而变化，被称为恒星变量。我们将在下面确定这些量与(M)之间的关系。(f_i(x))是无量纲的结构函数，编码了从恒星中心到表面的热力学变量分布，其中(x)从0变化到1。结构函数绘制在图13.5中。这些方程只需对一颗标准恒星（如太阳）求解，相同的结构函数将适用于所有满足我们假设的其他恒星，只需根据恒星质量进行缩放。由这个简单模型描述的恒星称为同系恒星(homologous)。该模型对主序星效果很好。

456
恒星
[
\begin{array}{c}
1 \
0.8 \
0.6 \
0.4 \
0.2 \
0 \
0 \quad 0.2 \quad 0.4 \quad 0.6 \quad 0.8 \quad 1 \
x
\end{array}
]
图13.5 热力学变量从恒星中心到表面的分布。(x = \frac{m}{M_*}, f_2 = \frac{P}{P_*}, f_3 = \frac{\rho}{\rho_*}, f_4 = \frac{T}{T_*})和(f_5 = \frac{F}{F_*})作为(f_1 = \frac{r}{R_*})的函数绘制。

例如，恒星中心的温度为(T_{\text{cen}} = f_4(0)T_*)，表面温度为(T_{\text{surf}} = f_4(1)T_*)。根据观测得到的表面温度，我们可以利用(f_4)计算出恒星内部任意点的温度。我们也知道表面温度如何随恒星质量变化，因此通过观测主序星的表面温度就能推算出它的质量，稍后我们将看到这一点。

即使没有明确求出结构函数，也能从这些方程中提取大量信息。首先，我们可以将结构方程中的变量分离。例如，方程(13.33)的左边可重写为
[
\frac{dP}{dm} = \frac{dP}{dx}\frac{dx}{dm} = \frac{df_2}{dx}\frac{P_*}{M},
\tag{13.39}
]
其中我们使用了方程(13.38)的第二式和方程(13.37)。与右边结合，并代入(m = Mx)和(r = f_1 R_)，可得
[
\frac{df_2}{dx}\frac{P_}{M} = -\frac{GMx}{4\pi f_1^4 R_*^4}.
\tag{13.40}
]
我们可以将其分成两部分。一部分是普适结构函数之间的关系，
[
\frac{df_2}{dx} = - \frac{x}{4\pi f_1^4},
\tag{13.41}
]

恒星结构
457
而另一个关系涉及恒星变量，
P∗= GM 2
R4∗
。
(13.42)
这两个子方程间的任何比例常数都可被吸收进结构函数中。

对其他结构方程按相同方式处理，得到
df1
dx =
1
4πf 2
1 f3
，
ρ∗= M
R3∗
，
(13.43)
f2 = f3f4
，
T∗= µmpP∗
ρ∗
，
(13.44)
df4
dx = −
3f5
16f 3
4 (4πf 2
1 )2
，
F∗= σ
κ
T 4
∗R4
∗
M
，
(13.45)
df5
dx = fb
3f n
4
，
F∗= q0ρb
∗T n
∗M 。
(13.46)
方程(13.41)以及(13.43)–(13.46)中左侧的方程构成了关于结构函数fi的封闭微分方程组，因此可数值求得一组唯一的解。

13.4.2
质量–光度关系

现在我们可以推导恒星变量之间的各种简单关系。恒星的关键特征是其质量M。由它几乎可以导出恒星的其他一切。将方程(13.42)和(13.43)中的P∗和ρ∗代入方程(13.44)，得到
T∗= µmp
GM 2
R4∗
 R3
∗
M

= Gµmp
M
R∗
。
(13.47)
我们可以利用此关系替换方程(13.45)中的T∗R∗，得到
F∗= σ
κ(Gµmp)4M 3 。
(13.48)
因此，能量流F正比于M 3，而由于L = F(1)，这就得出了联系恒星光度与质量的重要结果，L ∝M3。例如，一颗10倍太阳质量的主序星的光度是太阳的1000倍。恒星可用的核燃料总量正比于其质量，因此这立即转化为对主序星寿命的估算，
τMS ∝M
L ∝
1
M2 。
(13.49)
这一关系很容易理解。质量越大的恒星核心温度越高，因而核反应进行得越快。它们以更高的速率燃烧核燃料，比低质量恒星更快地度过一生，这也是大质量恒星稀少的原因之一。稍后我们将估算太阳作为主序星的寿命。

458
恒星
星的年龄约为 10¹⁰ 年。我们可以预期，一颗质量为 10 倍太阳质量的恒星，其主序星
寿命仅为这个数值的百分之一，即大约 10⁸ 年。
同样，根据方程 (13.48)，我们看到主序星的光度
正比于 µ⁴。µ 是恒星组成的函数，如第
13.3.1 节所定义。它随着核聚变的进行而增加，这意味着恒星的光度
会随着核燃料的燃烧而增加。据信，太阳现在的光度比大约 46 亿年前它形成时
要高出约 30%。

13.4.3 密度-温度关系
如果我们对方程 (13.42) 进行立方运算，并用方程 (13.43) 替换 R³
*，我们得到
P ³

  • = G³M ⁶
    R¹²
  • = G³M ²ρ⁴
    。
    (13.50)
    现在我们可以用方程 (13.44) 替换 P    ，得到
    ρ³
    *T ³
  • µ³m³p
    = G³M ²ρ⁴
    *。
    (13.51)
    两边除以 ρ³
  • 并重新整理，得到
    ρ* =
    1
    (Gµmp)³
    T ³
  • M² ，
    (13.52)
    这是一个 ρ* 和 T* 之间依赖于 M 的关系。利用结构函数，我们得到
    恒星内部任意一点都成立的密度和温度之间的类似关系。它表明，对于给定的温度，质量更大的恒星其核心密度更低。
    当恒星耗尽核燃料时，其核心会收缩，并可能达到一个
    靠电子简并压来抵抗坍缩的密度。然而，这仅在极高密度下才会发生。关系式 (13.52) 意味着，质量更大的恒星
    在达到电子简并压变得重要的密度之前，需要达到更高的温度。由于核聚变反应非常依赖于温度，
    这意味着质量较大的恒星可能会经历几轮质量较小的恒星无法进行的核聚变。我们现在将更仔细地研究恒星中的核聚变反应
    和核合成。

13.5 核合成
爱丁顿(Eddington)于 1920 年首次提出，氢核聚变成氦核可能
是提供能量使太阳和其他恒星发光的原因。氢原子的
原子核是单个质子，而氦原子的原子核由两个质子和两个
中子组成。爱丁顿意识到，如果一个氦核可以由四个质子锻造而成，
那么将释放出大约 26 MeV 的能量。这是四个质子的质量
（即 4 × 938.3 MeV = 3753 MeV）与氦核质量（即
3727 MeV）之间的差值。因此，质子质量的大约 0.7% 将转化为能量。
强核力的作用范围非常短。为了发生聚变反应，原子核
必须彼此接近到大约一飞米（10⁻¹⁵ 米）以内。然而，由于原子核
都带正电，它们需要克服一个很大的库仑势垒。在早期

核合成
459
20世纪许多物理学家认为，太阳中心1.6×10^7 K的温度不足以引发聚变反应。然而，正如我们在第11章所见，有两个因素使得聚变反应能在这些较低温度下进行。其一是热动能的麦克斯韦分布(Maxwell distribution)具有很长的尾部，因此总有一小部分原子核的能量远高于平均值。其二是量子隧穿(quantum tunnelling)使原子核即使能量不足以达到库仑势垒(Coulomb barrier)的顶端，也能穿过势垒。长尾部意味着氢聚变为氦更像是一阵缓慢的嘶嘶声，而非一次爆炸，但这足以维持热压强，支撑恒星对抗引力坍缩。由于热能不易从恒星逃逸，缓慢的嘶嘶声便已足够。一个有趣的事实是，人体单位质量的能量产生率比太阳还要高。

根据太阳的光度，我们可以计算出太阳的氢总质量 (M_{H\odot}) 被聚变反应消耗的速率为
[
\left| \frac{dM_{H\odot}}{dt} \right| = \frac{L_\odot + L_{\nu\odot}}{0.007c^2}
= \frac{1.023 \times 3.846 \times 10^{26}}{0.007 \times 9 \times 10^{16}} , \text{kg s}^{-1} = 6.25 \times 10^{11} , \text{kg s}^{-1},
\tag{13.53}
]
这里我们计入了方程(13.24)给出的中微子通量，并利用了氢聚变为氦时约有0.7%的质量转化为能量的事实。因子 (c^2) 是将以瓦特为单位的能量发射率转换为以 kg s^{-1} 为单位的质量消耗率所必需的。尽管太阳每秒损失 (6.25 \times 10^{11}) 千克氢，但这对其总质量 (M_\odot = 2 \times 10^{30}) 千克来说微不足道。氢燃烧只发生在太阳的核心，因此其大部分氢永远不会被燃烧。假设太阳的光度恒定，且在其主序寿命期间约有15%的氢转化为氦，我们可以估算太阳在主序上停留的时间为
[
\tau_\odot = 0.15 \times 0.75 \times \frac{M_\odot}{\left| \frac{dM_{H\odot}}{dt} \right|}
= \frac{2.25 \times 10^{29}}{6.25 \times 10^{11}} = 3.6 \times 10^{17} , \text{s} = 1.1 \times 10^{10} , \text{年},
\tag{13.54}
]
此处我们假设太阳初始时按质量计含有75%的氢。详细的模型给出的太阳主序寿命更接近于 (1.0 \times 10^{10}) 年，因此我们正在接近中点。

13.5.1 质子-质子链
低质量恒星中氢聚变为氦的过程被称为质子-质子链(proton–proton chain)。这一机制由汉斯·贝特(Hans Bethe)和查尔斯·克里奇菲尔德(Charles Critchfield)于1938年阐明。关键之处在于，虽然强力能将单个质子和单个中子结合成一个氘核，但它还不足以仅用两个质子或仅用两个中子就形成一个原子核。这意味着在走向氦核的第一步中，两个质子必须碰撞并隧穿库仑势垒，并且在撞击的精确瞬间，其中一个质子必须发生逆β衰变(inverse beta decay)。这个质子由此转化为一个中子，同时放出一个正电子和一个中微子。另一个质子和新形成的中子随后结合在一起，形成一个氘核，
[
^1\text{H} + ^1\text{H} \to ^2\text{H} + e^+ + \nu_e.
\tag{13.55}
]
正电子 (e^+) 迅速与等离子体中的一个电子湮灭，产生光子，而电子中微子 (\nu_e) 则逃逸出去。弱力的极端微弱性，即

460
恒星
负责贝塔衰变的这个关键第一步极其缓慢。在像太阳这样的恒星中，两个质子之间每 10^22 次碰撞才会产生一个氘核。通常，一个质子在发生这种反应之前，会在其他质子之间反弹大约一百亿年，因此这是决定氢转化为氦总速率的瓶颈步骤。
e+
e+
图 13.6 质子-质子链 (ppI)。
下一步几乎立即发生。在一秒内，氘核俘获另一个质子形成氦-3 核，结合能以光子形式释放，
²H + ¹H →³He + γ .
(13.56)
平均而言，氦-3 核需要再经过一百万年才能在太阳核心遇到另一个氦-3 核并发生反应
³He + ³He →⁴He + ¹H + ¹H
(13.57)
产生氦-4，同时两个质子被释放回等离子体中。总体而言，这些反应的结果是将四个质子转化为一个氦-4 核（见图 13.6）。（电中性得以维持，因为两个电子与第一步中发射的两个正电子湮灭。）释放的 26 MeV 能量大部分以光子形式存在，但部分被两个中微子带走。

核合成
461
这个过程通常被称为 ppI。聚变也通过以下称为 ppII 的替代路径进行，其中 ³He 核与 ⁴He 核融合：
³He + ⁴He
→
⁷Be + γ
⁷Be + e⁻
→
⁷Li + νe
⁷Li + ¹H
→
⁴He + ⁴He .
(13.58)
太阳中的质子-质子链过程 86% 是 ppI 反应，14% 是 ppII 反应。
这些质子-质子链过程释放能量的速率由第一步（13.55）决定，该步骤涉及两个质子的相遇。因此，它与密度的平方 ρ² 成正比，因此每单位质量的能量产生率 qpp 与 ρ 成正比。在第 11.6.1 节中，我们估算了质子-质子聚变速率对温度的依赖关系，并得出在 1.6 × 10⁷ K 温度区域（如太阳核心）的指数 n = 3.8。为了简化后面的一些公式，我们将其四舍五入为 n = 4，并将能量产生率近似为
qpp ∝ ρT⁴ .
(13.59)
13.5.2
CNO 循环
⁴He
¹H
¹²C
¹⁵N
¹H
¹H
¹³N
¹⁴N
质子
伽马射线
中微子
中子
正电子
¹³C
¹⁵O
¹H
图 13.7 CNO 循环。

462
恒星
太阳将氢转化为氦还存在另一种过程，约占其能量产出的5%。这被称为CNO循环或CNOF循环，因为它由碳、氮、氧和氟的原子核催化。催化核的电荷更大，意味着需要克服更大的库仑势垒(Coulomb barrier)，因此所需的温度比质子-质子链(proton–proton chain)更高。当核心温度超过约2 × 10⁷ K时，CNO循环成为主要的氢聚变过程，这出现在质量大于1.4 M⊙的主序星中。该循环的六个步骤可表示为

12C + 1H
→
13N + γ
13N
→
13C + e⁺ + νₑ
13C + 1H
→
14N + γ
14N + 1H
→
15O + γ
15O
→
15N + e⁺ + νₑ
15N + 1H
→
16O*
→
12C + 4He ,
(13.60)

如图13.7所示。在最后一步中，一个质子与一个氮-15核聚变，形成一个处于激发态的氧-16核，记为16O*，该激发态几乎立即分解为一个碳核和一个氦核。

还存在第二种可能性，即CNOF循环，其中激发的氧核发射一个伽马射线光子并降至一个更稳定的低能态，如下面第三步所示。在这种情况下，从14N开始，循环采取如下形式：

14N + 1H
→
15O + γ
15O
→
15N + e⁺ + νₑ
15N + 1H
→
16O*
→
16O + γ
16O + 1H
→
17F + γ
17F
→
17O + e⁺ + νₑ
17O + 1H
→
14N + 4He .
(13.61)

这两个循环的结果都是四个质子转化为一个氦-4核，并释放出26 MeV的结合能，而碳、氮、氧和氟核则被循环利用。其中两个步骤受弱相互作用(weak interaction)控制，并包含中微子的发射。这些中微子离开恒星时不再发生进一步相互作用，并带走约1 MeV的能量，因此循环的每一轮给恒星留下约25 MeV的能量。

CNO循环在第一代恒星中是不可能发生的，因为大爆炸刚结束后还没有像碳这样重的核。

能量产生率q_CNO对温度非常敏感，通常用幂律近似表示为

q_CNO ∝ ρ Tⁿ ,
(13.62)

其中n的引述值在16到20之间。我们将采用我们在第11.6.1节中计算出的数值n = 18。精确的温度依赖性远不如这一事实重要：一旦达到临界温度，能量产生率随温度升高而极快地增加。这对于恒星聚变的所有后续阶段也同样成立。

核合成
463
13.5.3 质量–半径关系
假设主序星的能量产生来源于氢的聚变，我们可以推导出恒星半径与质量之间的关系。将方程(13.46)和(13.48)结合，得到
q0ρb
∗T n
∗M = σ
κ(Gµmp)4M3 .
(13.63)
对于氢聚变反应，b = 1，因此
ρ∗T n
∗∝M 2 ,
(13.64)
代入来自方程(13.44)的T∗后，我们得到
P n
∗
ρn−1
∗
∝M 2 .
(13.65)
再将来自方程(13.42)和(13.43)的P∗和ρ∗代入，得到
M2
R4∗
n  M
R3∗
1−n
∝M 2 ,
(13.66)
化简指数后，
R∗∝M
n−1
n+3 .
(13.67)
对于通过质子–质子链燃烧氢的低质量恒星，能量产生率由方程(13.59)描述，因此n = 4，得到R∗∝M
3
7 。另一方面，对于通过CNO循环燃烧氢的大质量恒星，n = 18，得到R∗∝M
17
21 ≃M 0.81，因此更大质量主序星的半径几乎与它们的质量成正比。

13.5.4 质量–温度关系
从方程(13.47)我们看到T∗∝M
R∗。对于通过质子–质子链聚变氢的恒星，R∗∝M
3
7 ，因此
T∗∝M
4
7 ,
(13.68)
而对于通过CNO循环聚变氢的恒星，R∗∝M
17
21 ，因此
T∗∝M
4
21 ≃M 0.19 .
(13.69)
这些关系很重要，因为如前所述，利用维恩定律(13.6)测量恒星的表面温度是直接可行的。基于这一观测量，我们可以推断出恒星的质量，而这正是了解恒星其他性质的关键。

13.5.5 主序星的最小质量
我们可以利用质量–温度关系(13.68)来估算通过质子–质子链燃烧燃料的主序星的最小质量Mmin。太阳的核心温度

464
恒星
为1.6 × 10⁷ K，而质子–质子链能够发生的最低温度估计为4 × 10⁶ K，因此
Mmin
M⊙

Tmin
T⊙
 7
4
≃
 4
16
 7
4
≃0.1 .
(13.70)
更精确的分析表明Mmin约为0.08 M⊙，大约是80 MJ，其中MJ是木星的质量。
低质量主序星被称为红矮星。质量更小的是非常暗弱的天体，称为褐矮星。褐矮星的中心温度太低，氢无法通过质子–质子链转化为氦，但仍可能存在其他聚变反应。
质量大于65 MJ的褐矮星会聚变锂，锂是在大爆炸中少量产生的。锂核可以吸收一个质子形成⁸Be，⁸Be不稳定，会立即分裂成两个⁴He核，
⁷Li + ¹H
→
⁸Be
→
⁴He + ⁴He + γ .
(13.71)
质量大于13 MJ的褐矮星可以维持氘的聚变反应，氘同样是在大爆炸中少量产生的，
²H + ¹H
→
³He + γ .
(13.72)
质量低于13 MJ的天体则完全不可能发生任何聚变反应。这被认为是恒星与行星之间的分界线。

13.5.6 温度–光度关系
斯特藩–玻尔兹曼定律表明，恒星的光度为
L = 4πR²σT⁴
surf ,
(13.73)
其中R是恒星半径，Tsurf是表面温度。R正比于方程(13.67)给出的R∗，因此
L ∝M
2(n−1)
n+3 T⁴
surf .
(13.74)
在13.4.2小节中我们已证明L ∝M³；因此，
L ∝L
2(n−1)
3(n+3) T⁴
surf .
(13.75)
重新整理幂次，这意味着
L
n+11
3(n+3) ∝T⁴
surf
或
L ∝T
12(n+3)
n+11
surf
.
(13.76)
对于由质子–质子链驱动的低质量主序星，其中n = 4，
L ∝T
28
5
surf = T⁵.⁶
surf .
(13.77)
对于处于CNO循环的大质量主序星，其中n = 18，
L ∝T
252
29
surf ≃T⁸.⁷
surf .
(13.78)
赫罗图（图13.3）是双对数图，因此这些关系意味着主序星下段的斜率应约为5.6，而上段的斜率应更陡，约为8.7。这与观测结果相当吻合。

主序星之外的巨星
465
在构建主序星模型时，我们假设恒星具有均匀的组成，并且恒星核心产生的能量以热辐射的形式向外扩散。我们还假设了单位质量的 opacity (不透明度) 为常数。这些假设是相当适用的，尤其是在氢燃烧的早期阶段。但对于恒星后期的演化，它们就不那么适用了。随着时间的推移，核心的组成发生变化，因而不再与恒星包层的组成相匹配。convection (对流) 也可能变得重要起来。这将混合各种成分，并使恒星能够消耗更多的核燃料。它也会影响能量在恒星中的扩散。对流不容易建模，即使是通过数值方法。同样难以建模的是通过辐射压损失的质量数量，尽管预计该数量相当可观。在恒星生命的后期，恒星的辐射压会以 stellar wind (星风) 的形式将其外层粒子流驱逐到太空中，这种星风比目前观测到的太阳风要强得多。

13.6 主序星之外的巨星
当恒星耗尽了其核心的大部分核燃料时，它的能量产生就会衰减。此时的热压不足以平衡引力压，因此核心会收缩，直到热压得以恢复。核心的密度和温度不断升高，直到条件变得足够极端，从而开启一个新的核聚变反应阶段。

热辐射需要很长时间才能到达恒星的表面。在氢燃料耗尽之后，核心收缩发生的时间尺度，比我们在 13.3.3 节引入的热时标要短得多，因此恒星无法轻易释放出收缩所释放的能量。到目前为止，我们一直将恒星内部的 opacity (不透明度) 当作常数来处理，但它实际上是温度的函数。当从核心向外移动时，温度和压力会降低，而 opacity 则会上升。当新一轮的能量产生被触发时，热辐射会增加，并且由于它无法轻易逃逸，额外的辐射压会迫使包层膨胀。通过这种膨胀，包层的温度和压力下降，这增加了 opacity 并阻碍了热辐射的逃逸，从而导致包层进一步膨胀。这种正反馈效应的结果是恒星包层的巨大膨胀和冷却。最终，包层冷却到足以让氦原子和氢原子形成。这突然降低了 opacity，使得辐射能够从恒星中逃逸。此时恒星已经离开了主序星，转变为一颗 red giant (红巨星)。

许多红巨星对脉动不稳定，这导致了它们光度的变化。例如，Cepheid variables (造父变星) 会膨胀，直到其外包层冷却到足以形成中性氦原子。此时，opacity (不透明度) 急剧下降，被困在恒星内部的辐射逃逸出去。失去这些热量后，包层在引力作用下收缩，温度上升，氦原子被单次电离，包层的 opacity 再次急剧上升。收缩继续，直到有足够的能量被捕获以阻止收缩，然后膨胀阶段再次开始。这个周期的长短取决于恒星的质量，而由于质量也决定了恒星的光度，因此造父变星的内禀光度 L 与其周期之间存在一种关系，该关系可以与关系式 (13.5) 一起使用，以确定到该恒星的距离 d。正因为如此，造父变星已被证明是非常重要的 standard candles (标准烛光)，使天文学家能够计算出到最近星系的距离，我们将在 14.2 节中讨论这一点。

466
恒星
13.6.1
三阿尔法过程
红巨星已经耗尽了核心所有的氢，只能通过聚变氦来产生进一步的能量。然而，氦原子核非常稳定，这一点可以从核结合能曲线（第11章图11.7）中推断出来。这正是放射性重元素以阿尔法粒子形式释放它们的原因，也是恒星中合成它们时释放如此巨大能量的原因。它们的稳定性使得进一步的聚变反应极难实现。两个氦核结合形成4号元素铍被证明是不可能的，产生的⁸Be核会立即重新分裂成两个⁴He核。
1951年，埃德温·萨尔皮特(Edwin Salpeter)提出，碳(¹²C)或许可以在三个氦核近乎同时的碰撞中合成，但弗雷德·霍伊尔(Fred Hoyle)指出，这种三体碰撞事件发生的概率极低，因为中间的⁸Be核仅能存在10⁻¹⁶秒。他的计算表明，这一过程的产率远不足以解释宇宙中碳及更重元素的丰度。于是霍伊尔提出，恒星中碳的存在只能用¹²C核的一个激发态，即一个共振态的存在来解释，该共振态恰好具有合适的能量，能在三阿尔法反应中提升碳的产率。尽管对霍伊尔的推理深表怀疑，加州理工学院的一组核物理学家还是去寻找了这个共振态，并惊讶地在霍伊尔预言的能量位置上精确地发现了它。霍伊尔共振是¹²C核的第二激发态，位于基态之上7.65 MeV，仅比三个独立氦核的能量高出0.25 MeV。它的存在将恒星中碳的产率提高了大约10⁸倍。
碰撞氦核面临的库仑势垒是碰撞质子的四倍,因此三阿尔法过程仅在约10⁸ K的温度下发生。耗尽氢燃料的巨星核心必须收缩直至达到此温度，氦聚变才会开始。三阿尔法反应可以表示为
⁴He + ⁴He + ⁴He → ¹²C + γ .
(13.79)
此过程涉及三个核的碰撞，因此单位质量的能量产生率正比于ρ²，如第13.4节所述，且对温度极其敏感。三阿尔法反应率q₃α可近似为
q₃α ∝ ρ² T⁴⁰ .
(13.80)
在氦燃烧温度下，¹²C核还会经历核燃烧的下一步，有时会与另一个⁴He核聚变形成氧核¹⁶O。幸运的是，与¹²C核不同，¹⁶O核并不存在一个能提升其合成率的共振态。若存在，那么任何¹²C都会立刻转化为¹⁶O，宇宙中的碳含量将微乎其微。
氦燃烧产生的能量少于氢聚变形成氦的过程，因此恒星生命中的这一阶段相应更短。每合成一个¹²C核释放7.4 MeV能量，而形成该碳核所需的三个氦核，每个在其产生时释放26 MeV能量。总共，三个氦核最初产生时生成了3 × 26 = 78 MeV能量，是它们聚变成碳时释放能量的十倍。正因如此，氦聚变形成碳的持续时间，不足从氢锻造出氦所需时间的十分之一。在类太阳恒星中，氦燃烧阶段将持续约十亿年。

晚期演化
467
超巨星参宿四已经耗尽了核心的氢，进入了氦燃烧阶段。其质量约为太阳的二十倍，将会迅速燃烧氦。仅需几百万年，相当于二十倍的氦燃料就会被燃烧殆尽。

13.7 晚期演化
爱斯基摩星云
环状星云
项链星云
螺旋星云 (IC 418)
猫眼星云
沙漏星云
图13.8 行星状星云实例。
最终，恒星的氦燃料耗尽。核心成为碳和氧的混合物。随着能量供应减少，核心收缩，温度再次上升。接下来发生的事情取决于恒星的质量。

13.7.1 白矮星
质量相对较小（M ≤ 1.5倍太阳质量）的恒星，其核心温度不足以引发新一轮核聚变。它们的密度将达到使核心内的电子成为简并电子气并阻止进一步压缩的程度，从而支撑核心免于进一步收缩。当这种情况发生时，恒星包层的外层可能弥散到太空中，形成行星状星云。（图13.8展示了几个实例。）这些天体由威廉·赫歇尔(William Herschel)在他发现天王星后不久命名，因为它们通过望远镜呈现出盘状外观。它们实际上是发光的气体云，与行星无关。在行星状星云内部，裸露的收缩核心保留了下来，以约10⁵ K的温度向太空辐射。这样的天体被称为白矮星。白矮星被认为拥有由碳和氧组成的核心，外层可能被氦和氢包裹。大约在一万年内，行星状星云弥散到背景星际气体中，留下微小的白矮星持续闪耀。

468
恒星
我们可以基于白矮星由电子简并压支撑这一事实来估算其大小。我们在第10.9.2节中看到，对于体积V中的Nₑ个质量为mₑ的电子，电子简并压为
P = 2/5 (3π²)^(2/3) (ħ²/(2mₑ)) (Nₑ/V)^(5/3)。 (13.81)
这个压力表达式不仅适用于零温，也适用于远低于费米能量的所有温度。它对白矮星有效，因为电子密度以及因此费米能量非常高。
更方便的方式是用总体质量密度ρ = M/V来表示电子简并压，而密度主要来自核子。令N_N为体积V中的核子数。总质量近似为M = N_N m_p，其中m_p是质子质量。设ξ为平均每个核子对应的电子数。（对于氢，ξ = 1；对于氦、碳、氧及其它轻元素，ξ ≃ 0.5。）那么Nₑ = ξ N_N = ξ M / m_p，因此
Nₑ/V = ξ M/(m_p V) = ξρ/m_p。 (13.82)
所以，简并电子气的压力可以重新表示为
P = 2/5 (3π²)^(2/3) (ħ²/(2mₑ)) (ξρ/m_p)^(5/3)， (13.83)
或更简洁地写为
P = K₁ ρ^(5/3)， (13.84)
其中
K₁ = 2/5 (3π²)^(2/3) (ħ²/(2mₑ)) (ξ/m_p)^(5/3)。 (13.85)
通过联立方程(13.42)和(13.43)，可以得到恒星内部引力压强用密度表示的表达式：
P = GM^(2/3) ρ^(4/3)， (13.86)
我们已将压力和密度等同于表征恒星整体的恒星变量。在白矮星中，电子简并压与这种引力压强相平衡，因此
K₁ ρ^(5/3) = GM^(2/3) ρ^(4/3)， (13.87)
进而
ρ = G³ M² / K₁³。 (13.88)
由于ρ = M/V，白矮星的体积为
V = K₁³ / (G³ M)， (13.89)

晚期演化
469
与其质量成反比。这与主序星不同，主序星的半径随质量增加而增加，如我们在第13.5.3节所见。知道了它的体积，我们可以估算太阳质量M⊙的白矮星半径为
RWD = K1
G

3
4πM⊙
 1
3
= 3π¯h2
5meG
 ξ
mp
 5
3 
1
4M⊙
 1
3
.
(13.90)
代入数字，包括 ξ = 0.5，我们预期白矮星的半径为几千千米。天文学家已经测定天狼星B (Sirius B) 的半径为 0.0084 R⊙ = 5800 km。相比之下，地球半径为 6400 km，所以天狼星B的质量几乎与太阳相当，却被压缩在比地球还小的体积内。
由于体积如此之小，白矮星与普通恒星相比非常暗淡。聚变反应已经停止，因此它们随着辐射而冷却，但由于它们靠电子简并压 (electron degeneracy pressure)（几乎与温度无关）而非热气压支撑，其大小保持不变。斯特藩-玻尔兹曼定律 (Stefan–Boltzmann law) (13.73) 表明，白矮星的光度与其温度的四次方成正比。HR图 (HR diagram) 是光度对温度的双对数图，因此随着时间的推移，随着冷却，白矮星将沿着HR图左下角附近一条斜率为4的路径逐渐移动。最初形成时，白矮星由非常热的碳和氧原子核液体构成，它们处于电子的海洋中。随着白矮星冷却，其碳-氧核心被认为会结晶成一种极其致密的类金刚石结构。
白矮星有一个稳定存在的最大质量，因此并非所有恒星都以白矮星结束其演化。随着白矮星质量的增加，其体积减小。这增大了电子态之间的动量间隙，并且由于电子受泡利不相容原理 (exclusion principle) 的限制，它们被迫进入更高的动量态。在质量足够高的白矮星中，大多数电子将达到相对论速度，这极大地改变了状态方程。
动量空间中的态密度仍由方程 (8.12) 给出。考虑到电子的两个自旋态，p 的密度为
eg(p) = V p2
π2¯h3 .
(13.91)
当电子高度相对论性时，其能量为 ε = p，因此 ε 的态密度为
g(ε) = V ε2
π2¯h3 .
(13.92)
将此密度积分到费米能量 εF，我们求得 εF 与体积 V 中的总电子数 Ne 之间有如下关系：
Ne =
V
π2¯h3
Z εF
0
ε2 dε =
V
3π2¯h3 ε3
F .
(13.93)
由此得出 εF =
3π2¯h3 Ne
V
 1
3 ，电子的总能量为
E =
V
π2¯h3
Z εF
0
ε3 dε =
V
4π2¯h3 ε4
F = 3
4(3π2)
1
3 ¯hN
4
3
e V −1
3 ,
(13.94)

470
恒星
因此，对于相对论性简并电子气，压强为
P = −dE
dV = 1
4(3π2)
1
3 ¯h
Ne
V
 4
3
.
(13.95)
将数密度代入关系式 (13.82)，Ne
V = ξρ
mp ，我们得到
P = 1
4(3π2)
1
3 ¯h
 ξρ
mp
 4
3
,
(13.96)
或者更简洁地写为
P = K2ρ
4
3 ,
(13.97)
其中 K2 = 1
4(3π2)
1
3 ¯h

ξ
mp
 4
3 。
现在，如果我们令电子简并压和引力压强（如方程 (13.86) 所示）相等，可以得出
K2ρ
4
3 = GM
2
3 ρ
4
3 .
(13.98)
密度从这个方程中消去了，因此我们必须得出结论：当 M 太大时，电子简并压无法与引力压相抗衡。如果白矮星中的电子具有相对论性速度，那么它就不存在稳定的密度。
白矮星的最大质量被称为钱德拉塞卡极限(Chandrasekhar limit)，以首先计算它的天体物理学家苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar)命名。根据方程 (13.98)，我们可以估算出最大质量为
MCh =
K2
G
 3
2
≃
 ¯h
G
 3
2  ξ
mp
2
≃4 ξ2 M⊙.
(13.99)
钱德拉塞卡极限依赖于白矮星的组成成分。更精确的分析估计该极限为
MCh = 5.83 ξ2 M⊙.
(13.100)
对于由氦、碳或氧组成的白矮星，ξ = 0.5，所以 MCh = 1.46M⊙。
质量超过这个极限的白矮星必然会进一步坍缩。天文学家从未发现过质量超过理论钱德拉塞卡极限的白矮星。（在恒星生命的后期阶段，由于辐射压的作用，大量物质可能会损失，因此会演变成白矮星的恒星的质量上限并不确切知晓，可能在 6M⊙ 到 8M⊙ 之间。）
13.7.2
大质量恒星的引力坍缩
正如我们所见，当一轮核聚变的燃料耗尽时，恒星的核心便会收缩。对于质量足够大的恒星，温度将升高，直到触发下一阶段的聚变。在质量最大、超过约八个太阳质量的恒星中，核聚变有六个主要阶段：氢燃烧、氦燃烧、碳燃烧、氖燃烧、氧燃烧和硅燃烧，其中前一轮核反应的灰烬成为下一轮核反应的燃料。

晚期演化
471
核燃烧成为下一轮核反应的燃料。更重的元素具有更大的核电荷 (Z)，因此要发生聚变反应就必须克服更高的库仑势垒。随着 (Z) 的增加，核聚变所需的温度也随之升高。在新恒星形成的气体云中，大多数比氦更重的元素是在质量超过25倍太阳质量的恒星内部锻造而成的。1952年，人们在某颗恒星的光谱中探测到了 (Z = 43) 的锝元素（technetium）谱线，这给出了元素创生必定是一个持续过程的确凿证明。锝没有稳定同位素，其中寿命最长的同位素是 (^{98}\text{Tc})，半衰期仅为420万年。

稳定的
核素
(Z = N)
中子
数
(N)
质子数 (Z)
s过程
r过程
从稳定谷
偏离出去

图13.9　重核通过持续吸收中子以及随后的β衰变形成。在巨星的核心中，这一过程以慢中子过程（s-process）进行，产生靠近稳定谷的同位素；在超新星爆发中，这一过程以快中子过程（r-process）进行，产生远离稳定谷的富中子同位素。

核聚变所需的温度大致正比于发生聚变的原子核电荷的乘积，不过具体细节由核能级决定。氢聚变发生在大约 (1.6 \times 10^7,\text{K})，氦聚变约在 (1.0 \times 10^8,\text{K})，而碳聚变则发生在核心温度达到 (0.6 \text{–} 1.0 \times 10^9,\text{K}) 的巨星中。主要的碳聚变过程有：

[
\begin{aligned}
^{12}\text{C} + ^{12}\text{C} &\rightarrow , ^{20}\text{Ne} + ^4\text{He} \
^{12}\text{C} + ^{12}\text{C} &\rightarrow , ^{23}\text{Na} + ^1\text{H} \
^{12}\text{C} + ^{12}\text{C} &\rightarrow , ^{23}\text{Mg} + n .
\end{aligned}
\tag{13.101}
]

前两个过程释放能量。第三个过程是吸热的，但在这种极高的温度下仍会发生，而且它很重要，因为它产生了自由中子。这些中子很容易穿入周围所有的原子核，因为没有库仑势垒阻挡它们被吸收。新的同位素就这样被创造出来。一个原子核可以吸收若干个中子，直到变成一个中子过剩的不稳定核。这个不稳定的核将……

472
恒星
然后发生β衰变，其中一个中子将转化为质子。许多较轻元素的同位素就是这样形成的。这对于质子数Z为奇数的元素的合成尤其重要。该过程被称为慢过程或s过程（s-process），因为通常两次中子吸收之间的间隔长于所产生任何不稳定核的β衰变半衰期。因此，s过程中产生的新核将位于稳定谷（valley of stability）附近，如图13.9所示。
惰性氢
氢燃烧壳层
氦燃烧壳层
惰性碳
碳燃烧核心
惰性氦
图13.10 在其晚期阶段，一颗在其核心中聚变碳的巨星可能还包含一个聚变氦的壳层和一个聚变氢的壳层，如图所示。恒星内部各区域的相对大小未按比例绘制。
随着核心温度稳步上升，条件可能变得适于在核心周围的壳层中进行物质燃烧。例如，取一颗在其核心中燃烧碳的恒星。包裹核心的是一个温度尚不足以发生聚变的碳壳层。这层惰性碳被一个燃烧氦的壳层所包围。随着这些氦的耗尽，燃烧壳层将逐渐向外移动，它所产生的碳灰将积聚在惰性碳壳层周围，从而增加其半径。在燃烧氦壳层之外，会有一个因温度过低而无法聚变的氦壳层。再往外，会有一个燃烧氢的壳层，随着它聚变并向下方添加氦而向外移动。在燃烧氢壳层之外，便是恒星的氢包层。这样一颗恒星的壳层结构示意图如图13.10所示。
随着每一阶段核燃烧的耗尽，核熔炉的温度会升高，从而有可能发生范围越来越广的聚变反应。这些反应的分析变得日益复杂；原子核可能通过聚变反应逐步构建起来

晚期演化
473
并在高能伽马射线的作用下离解。在每一轮核燃烧过程中，每种同位素的浓度都趋向于核统计平衡状态。碳燃烧会产生一个由氧、氖和镁组成的核心。随后，在温度达到约 1.5 × 10⁹ K 时，经由以下反应发生氖燃烧：
20Ne + 4He →24Mg + γ .
(13.102)
紧接着是在 2.0×10⁹ K 时发生的氧燃烧，主要涉及以下反应：
16O + 16O →28Si + 4He
16O + 16O →31P + 1H .
(13.103)
大质量恒星核聚变的后期阶段产生的能量显著减少，且其中很大一部分能量以中微子和反中微子发射的形式损失掉，因此这些阶段持续的时间相应地更短。碳燃烧持续数百年，而氖燃烧仅需几年，氧燃烧则持续大约八个月到一年。硅燃烧的最后阶段发生在 3.5 × 10⁹ K 的温度下，仅持续数天，在此过程中，大部分核心转化为 ⁵⁶Ni。这几乎是恒星核反应的自然终点。

原子核 ⁵⁶Ni 是不稳定的。若有足够时间，它会经历两阶段的逆β衰变以减少其质子数 Z，以六天的半衰期衰变成 ⁵⁶Co，随后 ⁵⁶Co 再以 77 天的半衰期衰变成 ⁵⁶Fe。正如第 11 章所讨论的，铁原子核 ⁵⁶Fe 是所有原子核中最致密、因而也是最稳定的，所以在涉及铁核或其邻近核素的聚变反应中不再释放能量。一旦达到此阶段，恒星便无法通过核聚变产生更多能量，而没有持续的能量释放，阻止恒星引力坍缩的向外的压力便无法维持。

此时，最终的核心坍缩开始了。温度持续上升，直至约 10¹¹ K 时，热辐射由具有足够能量的伽马射线组成，足以将核心中的镍、铁及其他致密原子核分解为自由核子。核心达到核密度，在此密度下核物质抵抗进一步压缩，坍缩的核心发生反弹。此时已释放出如此巨大的引力结合能，以至于恒星在一次超新星爆发中将自己炸得粉碎，其亮度可能堪比一个包含 1000 亿颗恒星的整个星系。

随着超新星爆发，火球中的原子核被来自已被伽马辐射离解的原子核所产生的中子所包围。这些中子通过所谓的快过程，或 r 过程，构建出元素周期表中更重的元素，因为即使在衰变前，不稳定原子核也可能吸收大量中子。由此产生的富中子同位素远离稳定谷，如图 13.9 所示。

许多对我们而言意义重大的元素，例如金和铀，只能在超新星爆发中产生。这类元素有数百种天然存在的同位素。天体物理学家如今已理解每种同位素形成的详细核过程，并能定量地解释其宇宙丰度。主要的元素形成场所如图 13.11 所示。亦请回顾图 11.6，该图展示了太阳系中所有元素的丰度。

在一次超新星爆发之后，恒星的核心可能已转变为一个半径约 15 公里——大约相当于一个大城市的规模——的天体，但其

474
恒星
H
He
Na
Rb
Fr
Cs
K
Li
Mg
Sr
Ra
Ba
Ca
Y
Sc
Zr
Hf
La
Ce
Pr
Nd
Pm
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Lu
Ac
Th
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
No
Lr
Ti
Nb
Ta
V
大爆炸
超新星
小恒星
宇宙射线
大恒星
Mo
W
Cr
Tc
Re
Os
Mn
Ru
Fe
Ir
Rh
Co
Au
Pd
Ag
Cd
Hg
Pt
Ni
Cu
Zn
In
Tl
Ga
Sn
Pb
Ge
Sb
Bi
As
Te
Po
Se
I
At
Br
Xe
Rn
Kr
B
C
N
Ne
O
F
Al
Si
P
Ar
S
Cl
Be
图13.11 元素周期表，各元素根据其来源进行颜色编码。（元素Li、Be和B的主要来源是较重的核，如C、N和O，在宇宙射线撞击下分解的过程，该过程称为散裂(spallation)。）
原子核的密度。这个非凡的天体被称为中子星(neutron star)。如果坍缩核心的质量超过太阳质量的两到三倍，其坍缩就根本停不下来，结果就是一个黑洞(black hole)。

13.8 中子星
我们在13.7.1节中看到，超过一定质量的白矮星是不稳定的。质量更大的恒星会继续其引力坍缩，并最终以超新星的形式爆炸。在坍缩的最后几毫秒内，电子的费米能量变得非常高，以至于电子和质子通过弱力相互作用，发生逆贝塔衰变。电子和质子合并成中子，并放出中微子：
e⁻ + p → n + νₑ.
(13.104)
在极高的压力和温度下，中子集体具有的能量比质子低，因为它们之间没有静电相互作用。其结果是，恒星的核心转化成一个几乎完全由中子组成的天体。这就是超新星爆发将恒星外层猛烈地喷射到太空深处之后，所留下的异乎寻常的天体。形成的中子星，其密度可与原子核的密度相比拟。实际上，这颗恒星已将自己变成了一个巨大的原子核。仅仅一茶匙的中子星物质就重约二十亿吨。至少，这是一茶匙中子星物质的平均重量。中子星中心的密度比其外壳的密度要大得多。

与白矮星的最大质量类似，中子星也有一个最大质量，但由于这类天体的物理性质如此奇特，这个极限尚未被非常确切地了解。然而，它肯定在2–3M⊙范围内。质量超过这个值的中子星将不可避免地坍缩形成黑洞。目前，对于中子星J0348+0432，其最高且精确测定的质量为2.01 ± 0.04 M⊙。

中子星
475
外壳 0.3–0.5 km
内壳 1–2 km
内核 0–3 km
外核 ~ 9 km
图13.12 中子星的内部结构。外壳由类似白矮星物质的晶格组成，并由电子简并压力支撑。内壳由重原子核晶格和自由中子超流体构成。外核由中子超流体加上少量超导质子组成，并由中子简并压力支撑。内核的成分尚不确定，可能是某种夸克–胶子等离子体。

我们或许会天真地认为，中子星在核密度下是由中子简并压力支撑的，因此其半径可以通过与白矮星相同的方法确定，只需在计算中将中子替换为电子。正如方程(13.90)所给出的，白矮星的半径R_WD与m_e成反比，这一论证将意味着中子星的半径为
R_NS ≃ (m_e / m_n) R_WD ,
(13.105)
这比白矮星的半径要小得多，因为m_n ≃ 1838 m_e。然而，按此计算得出的仅3 km的半径，将使中子星处于其施瓦西半径(Schwarzschild radius) 2GM之内，对于具有钱德拉塞卡质量的中子星，施瓦西半径约为4.5 km。具有此半径的中子星不可能存在，因为它会立即坍缩成黑洞。解决之道似乎是，当中子被压缩到超过核密度时，强力会在中子之间产生强排斥作用，正是这种排斥力支撑中子星抵抗引力坍缩。一般认为中子星的半径约为15 km，这大约是质量为2.5 M_⊙的中子星的施瓦西半径的两倍。

476

恒星

图13.12描绘了一颗中子星的结构。据信，这些奇异的天体拥有一个厚度仅几厘米的炽热等离子体大气层，包裹着由类似白矮星物质构成的外壳，其密度约为10⁹ kg m⁻³，由重核和简并电子海组成。向内深入，我们在中子滴落密度处抵达内壳。原子核内的中子比例和自由中子密度急剧增加，直至达到约1.7 × 10¹⁷ kg m⁻³的转换密度。我们现在进入了外核，它几乎完全由中子以及少量质子、电子和μ子组成。构成中子星中心内核的物质的物理结构尚无定论。已有多种猜测，包括致密堆积的奇异重子以及π介子和K介子的玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose–Einstein condensates)。另一种可能性是它由某种夸克-胶子等离子体(quark–gluon plasma)构成。

13.8.1 脉冲星

恒星坍缩时，其自转速率必定急剧增加。我们可以通过设想太阳坍缩成一颗半径15公里的恒星来估算新形成的中子星的角速度ω。如果没有质量损失，中子星的质量将为MNS = M⊙。太阳的角动量为
J⊙∝M⊙R²⊙ω⊙。
(13.106)

由于角动量守恒，中子星的角动量JNS等于J⊙，因此中子星的自转周期τNS将为
τNS = (RNS/R⊙)² τ⊙ = (15 / 7 × 10⁵)² (2.1 × 10⁶) s ≃10⁻³ s ，
(13.107)

我们在这里用到了太阳的自转周期为24.5天，即2.1 × 10⁶秒。这似乎是对新诞生中子星自转速率的一个合理估算。中子星的磁场强度极其巨大，大约是地球磁场的一万亿倍。与地球一样，磁极不一定与自转极重合，因此磁偶极子场围绕中子星旋转。这个随时间变化的磁场会产生一个电场，将电子和其他带电粒子从中子星的磁极向外加速，产生两束强烈的辐射，从两极射入太空。这些射束被称为脉冲星(pulsars)。它们像宇宙灯塔一样扫过天空，如图13.13所示。在地球上，当脉冲星的辐射束指向我们时，射电天文学家在每次自转时都会探测到一个无线电波脉冲，这种情况可能每秒发生多次。

旋转的磁场对中子星的自转起到了制动作用，它所产生的脉冲星将损失的自转能传递给周围的星云。中子星的角速度逐渐减小。蟹状星云(Crab Nebula)内的中子星大约形成于1000年前，现在每秒旋转约三十圈。据计算，蟹状星云中旋转中子星损失的自转能量与照亮该星云所需的能量相符。脉冲星的寿命是有限的。大约在一百万年后，中子星的自转周期将增加到大约一秒，届时将没有足够的能量来驱动脉冲星，它将从视野中消失。

超新星
477
图13.13 脉冲星是由快速旋转的中子星产生的辐射束。
处于双星系统中的中子星与普通恒星为伴时，可能会从伴星吸积物质。当老化的伴星抛射其外层物质，或伴星膨胀成为巨星时，就可能发生这种情况。此时，中子星周围可能会形成一个吸积盘。当物质从吸积盘内缘沿螺旋轨道落到中子星表面时，中子星会被加速旋转，从而使其沉寂已久的脉冲星复活。这被认为是毫秒脉冲星的起源，观测显示这类脉冲星的周期极短。目前已知旋转周期最短的脉冲星是PSR J1748-2446ad，其每秒自转高达716次，令人难以置信。

13.9 超新星
一颗突然出现的恒星，仿佛凭空诞生，被称为新星，即新出现的星。天文学家经常观测到这类事件，其观测历史已有数千年。新星会逐渐变暗，最终消失。20世纪30年代初，沃尔特·巴德(Walter Baade)和弗里茨·兹威基(Fritz Zwicky)辨认出一种亮度高得多的恒星爆发，并将其命名为超新星。他们在其他星系中识别出几个实例，并开始了系统性的搜索，以期发现更多。直到不久前，天文学家能研究的样本还很少。如今，每年都能发现并详细研究数百个超新星。近几十年来，自动搜寻项目的部署，如帕洛马瞬变工厂(Palomar Transient Factory, PTF)，以及业余天文爱好者团队的系统性搜寻，已大幅改变了样本数量。随着计算能力的提升，对超新星爆发的计算机模拟也在不断进步。因此，超新星物理学是一个飞速发展的领域。20世纪50年代，根据超新星展示的光谱线引入了一种宽泛的分类。随着可供分析的样本数量激增，分类系统已不断扩展，纳入了许多不符合标准模式的特殊案例。

我们现在知道，导致超新星爆发的主要机制有两种。
Ia型超新星由一颗接近钱德拉塞卡极限的白矮星发生失控的热核爆炸而产生。II型超新星由大质量恒星的核心坍缩而产生。

478
恒星
一颗耗尽了核燃料的恒星，如第13.7.2节所述。II型超新星的终极能量来源是引力束缚能的释放。

很大一部分恒星存在于双星或多星系统中。这类恒星之间的相互作用可能会变化多端且复杂，尤其是在大质量恒星演化的后期超巨星阶段。这些相互作用对超新星可能发生的环境有显著影响。越来越清楚的是，分类体系中的许多细分仅仅是由环境因素造成的。例如，一颗经历了核心坍缩的恒星，其包层可能富含氢，或富含氦，也可能因为与伴星的相互作用而完全失去了包层，而这当然会影响超新星光芒中出现的谱线。超新星的外观也会被爆发恒星周围区域中的任何物质所改变，比如恒星在更早的、较弱的喷发中可能抛射出的物质。

双星系统内的相互作用也被认为对Ia型超新星的起源至关重要，尽管对其精确机制仍有争论。双星系统中质量较大的恒星可能演化成白矮星，而稍后一些时候，它的伴星会膨胀成为红巨星。白矮星是一颗不再进行核聚变反应的死亡之星，但当它绕红巨星运行时，可能会从红巨星的外层吸积物质。这些物质被吸引到白矮星上，并被其强大的引力压缩，在其表面周围形成一个壳层。最终，达到临界密度，壳层在巨大的核聚变爆炸中爆发，这次爆炸可能在星系的另一端都能看到。我们将这样的事件视为新星；银河系中每年大约出现十颗。（另有大约30颗被认为因尘埃和气体云的遮挡而不可见。）随着白矮星持续从伴星吸引物质，导致新星的过程将会重复。爆发之间的间隔通常为几千年，但也可能短至一二十年。例如，恒星RS Ophiuchi在1898年、1933年、1958年、1967年、1985年和2006年都曾爆发。天体物理学家尚不确定在此过程中白矮星的质量是稳步增加，还是由于每次爆炸中的烧蚀而减少。

当恒星位于主序时，其内部的任何温度升高都会增加热压力，这就像一个调节温度和聚变速率的阀门。但这种机制无法在白矮星中发生。当白矮星的质量接近钱德拉塞卡极限(Chandrasekhar limit)时，其表面积吸物质壳层的爆燃可能会触发其核心的碳聚变。白矮星强大的引力挤压着核心。核心处于高度简并态，并由电子简并压支撑，这种压力本质上与温度无关，因此碳聚变释放的任何能量都会导致温度急剧上升，而这反过来又导致聚变速率急剧增加。由此产生的失控热核爆炸会将白矮星彻底摧毁，它作为一颗Ia型超新星点亮，其亮度可能高达先前新星的100,000倍。所有Ia型超新星被认为具有相似的内禀光度，自20世纪90年代以来，它们一直被用作标准烛光²来确定遥远星系的距离。自1998年以来，对遥远Ia型超新星爆发的研究已被用来证明宇宙的膨胀正在加速。然而，最近有人对一些疑虑
² 严格来说，它们是“可标准化的”。它们的内禀光度可能变化高达10倍，但其峰值内禀光度可以从描绘其光度随时间下降的光变曲线中推算出来。

超新星
479
这对此种距离测定方法的可靠性提出了质疑。一些被归类为Ia型的超新星，被认为是由两颗白矮星组成的双星系统合并所致，在这种情况下，每个双星系统的总质量和合并过程都会不同，由此产生的超新星光度也会有所变化。如果这种说法正确，将对在最遥远尺度上的距离测定产生影响。
1987年，天文学家目睹了自望远镜时代开启以来距离最近的一颗可见超新星。该天体是一颗II型超新星，被称为SN1987A。它位于一个被称为大麦哲伦云(Large Magellanic Cloud)的矮星系中，该星系受引力束缚，是我们的卫星星系，距离我们约168,000光年。即使在这么远的距离，这颗超新星在南半球的天空中仍显现为一颗中等亮度的恒星。一颗相对较近的超新星的出现，为天文学家提供了一个检验他们关于这些宇宙灾变想法的机会。几天之内，SN1987A的前身星就在摄影档案中被找到。这颗被命名为Sanduleak −69◦202的恒星是一颗蓝超巨星，因此该超新星是核心坍缩的结果，正如对II型超新星所预期的那样。尽管如此，它还是具有一些非典型特征。
核心坍缩会产生强烈的中微子和反中微子流。在核心内部不可思议的高压下，质子和电子通过逆贝塔衰变结合形成中子，并在此过程中释放出中微子，这在能量上是有利的：
p + e⁻ → n + νₑ .
(13.108)
核心内部的对流可能会将极端富中子的原子核带到压力稍低的区域，在那里它们迅速发生贝塔衰变并释放出反中微子：
n → p + e⁻ + ν̄ₑ .
(13.109)
然而，另一个过程甚至更为重要。坍缩核心中的伽马射线在等离子体中被离子散射时，具有足够的能量(> 1.02 MeV)来形成电子-正电子对。这些电子和正电子中的一部分随后湮灭，产生中微子-反中微子对（包含全部三种类型）：
e⁻ + e⁺ → ν + ν̄ .
(13.110)
在核心坍缩的几秒钟内，大约会创造出10⁵⁸个中微子和反中微子。在对超新星进行建模时，最初的爆发总是会停滞下来，而这股巨大的中微子爆发正是重新点燃超新星冲击波、将这颗垂死恒星撕碎所必需的。在某一瞬间，中微子会被困住并形成简并气体，填满所有可用的量子态，就像金属中的电子一样。
在SN1987A出现之前的两到三个小时，位于日本、美国和俄罗斯的中微子观测站仅在十秒钟内就总共探测到了24个反中微子。这是人类首次探测到来自太阳系外的中微子。据估计，银河系中大约每30年左右就应该发生一次超新星爆发，但其中大部分会被介于其间的尘埃云遮挡而无法看见。天文学家上次观测到银河系超新星是在1604年。下一次发生超新星时，当今更精密的中微子观测站应该能轻易捕捉到。仅超级神冈(Super-Kamiokande)探测器一个设备，预计就能观测到来自我们星系中超新星的一个包含约10,000个中微子和反中微子的脉冲。

480
恒星
1000
2000
35
36
37
38
log10(光度 [erg s–1])
39
40
41
44 Ti
55 Fe
56 Co
57 Co
60 Co
时间 [天]
3000
4000
5000
M(55Co) = 1.30 x 10–4 M
M(56Ni) =6.90 x 10–2 M
M(57Ni) =2.43 x 10–3 M
M(60Co) = 4.00 x 10–5 M
M(44Ti) =3.80 x 10–5 M
图13.14 SN1987A的光变曲线（点），与长寿命放射性核素44Ti、55Fe、56Co、57Co和60Co的联合辐射发射相匹配。

SN1987A发出的光在其出现后的几个月里逐渐减弱。其光度的下降与我们的理论理解非常吻合，因为它与56Ni →56Co的衰变半衰期（6天）以及随后56Co →56Fe的衰变半衰期（77.3天）相匹配。图13.14将SN1987A光度的下降与超新星产生的各种同位素的放射性衰变预期结果进行了比较。在大约1000天之前，光变曲线与56Co的衰变相吻合。目前从这颗超新星遗迹接收到的大部分光，被认为来自钛同位素44Ti的衰变，其半衰期为60年。

天体物理学家惊讶地发现，SN1987A的前身星是一颗蓝超巨星，质量为20M⊙，半径为40R⊙，而不是恒星演化理论所预期的半径约为1000R⊙的红超巨星。1990年，人们发现这颗超新星遗迹位于一个奇特的三环系统内，如图13.15所示。SN1987A的这些及其他不寻常的特征如今已经有了令人信服的解释。菲利普·波兹亚德洛夫斯基(Philipp Podsiadlowski)、托马斯·莫里斯(Thomas Morris)和娜塔莎·伊万诺娃(Natasha Ivanova)提出，这颗前身星起初是一个双星系统，包含质量分别约为15–20M⊙和5M⊙的两颗恒星，它们以至少十年的周期相互绕转。
当质量较大的恒星进入红超巨星阶段时，它将伴星吞没在其外层包层中。弥散包层产生的摩擦导致两颗恒星螺旋式相互靠近，直到大约20,000年前，伴星与红超巨星的核心发生碰撞。这次碰撞将核心物质混合到红超巨星的包层中，与增加的质量一起，导致这颗恒星从红超巨星转变为蓝超巨星。关于这次并合的流体动力学计算机模型显示，当伴星

超新星
481
图13.15 左：哈勃太空望远镜(HST)拍摄的SN1987A图像，显示中心超新星周围的三个环。右：从不同角度展示三环系统三维结构的艺术家想象图。
在红超巨星内部螺旋运动时，其包层被加速旋转，在膨胀的主星周围形成一个盘。同时，伴星的内旋加热了包层，并导致大约0.5M⊙的物质被抛射出去。这些物质的逃逸受到赤道面盘的阻碍，物质浓度最高的区域以相对于盘面±45°的角度离开。这在盘面上方和下方形成了外流环。并合之后，红超巨星内部的温度升高，它收缩成为一颗蓝超巨星，留下盘面变成一个数倍太阳质量的外流第三环。最终结果就是一个三环系统，正如图13.15中哈勃太空望远镜图像所示。

1994年9月24日
1999年1月8日
2003年1月5日
2003年8月12日
2001年3月23日
2001年12月7日
1999年4月21日
1995年3月5日
1996年2月6日
2000年2月2日
2000年6月16日
2000年11月14日
2003年11月28日
1997年7月10日
1998年2月6日
图13.16 哈勃太空望远镜拍摄的SN1987A时序图像。爆炸产生的激波正在追上并激发稠密的中心环状物质，这些物质是在超新星爆炸前20,000年从该恒星抛射出来的。

482
恒星
图13.16展示了SN1987A外观的演变。超新星爆炸中抛出的物质现已抵达由其前身星在2万年前抛射出的稠密内环，气团在冲击的激发下正变得明亮。天文学家们正密切关注着SN1987A是否留下了一颗中子星。到目前为止，尚未发现。

13.9.1
伽马射线暴
1963年，《禁止核试验条约》签署。为监督条约遵守情况，美国在四年后发射了一系列卫星，用以探测作为核爆炸标志性特征的伽马射线。这些卫星立刻就开始偶尔探测到伽马射线闪光，即人们所说的伽马射线暴（GRB）。它们随即被纳入调查。

到1973年，情况已然明朗，这些伽马射线源自太空，相关研究也随之被军方解密。GRB通常仅持续数秒，因此揭示其奥秘被证明颇具挑战。成功与否取决于在卫星探测到伽马射线暴后，迅速部署望远镜研究其馀辉。自1996年意大利-荷兰合作的BeppoSAX卫星发射以来，这已成为可能。该卫星旨在非常快速且精确地定位GRB，从而使光学望远镜能迅速跟进观测。这些光学馀辉中的光谱吸收线呈现高度红移，它们是GRB事件的光线穿过遥远的居间星系时产生的。现已清楚，GRB是宇宙中最剧烈爆炸的产物。它们极为罕见，但威力如此强大，以至于我们能从数十亿光年之外的宇宙另一端探测到它们。

GRB被分为两类。大多数事件持续数秒，典型持续时间为20秒，被称为长GRB。另一类是短GRB，持续时间不足两秒。一次GRB中的能量是巨大的。伽马辐射的各向同性发射将需要一个不可行的能量源，其能量将远超即使是最亮的超新星。现在普遍认为，GRB是高度聚焦的辐射束。当一次灾变事件朝我们的方向发射出一束强烈的伽马辐射时，我们便看到了一次GRB。这两类GRB被认为源于两种不同类型的事件。

部分长GRB已被证认出对应于最亮的一类超新星，即极超新星（hypernovae），它们至少比普通超新星亮十倍。天体物理学家得出结论，长GRB是极质量恒星核心坍缩形成黑洞的结果。将整个恒星挤压成一个黑洞十分困难，因为以宇宙标准衡量，黑洞极其微小，直径仅数公里。坍缩中的恒星旋转得越来越快，尽管极点附近的大量低角动量物质容易形成黑洞，但赤道附近的高角动量物质则产生了一个快速旋转的吸积盘。粘滞过程使得该盘物质迅速被吸积到新形成的黑洞中，但部分物质在极点处被抛射出去。这些物质被压缩到超过核密度，并聚焦成两股以接近光速向外喷射的喷流。喷流中的电子被加速并发出同步辐射，产生两束极强的伽马射线。位于宇宙另一端、恰好直视这架伽马射线炮口的文明，将看到一道短暂的辐射痕迹，标志着一颗可能达40倍太阳质量（40M⊙）的巨星的死亡，以及一个黑洞的形成。

密度–温度图
483
在某些情况下，极向伽马射线束可能无法穿透坍缩中的恒星物质，因此并非所有极超新星都与伽马射线暴（GRB）相关。也有可能一些质量最大的恒星在坍缩形成黑洞时悄无声息，根本不产生超新星。它们会直接从视野中消失。
短伽马射线暴的研究甚至更加困难，因为它们持续时间极短且能量低得多。最近它们被与同样远在数十亿光年之外的暗淡可见光余辉联系起来。有非常有力的证据表明，这些事件源于两个致密天体的并合，这两个天体可能是两颗中子星，或者是一颗中子星和一个黑洞。

13.10 密度–温度图
在13.4.3节我们发现恒星满足方程(13.52)，这意味着
ρ(r) =
1
(Gµmp)3
T 3(r)
M2 .
(13.111)
这个方程将恒星内部每一点的密度与温度的立方联系起来。取对数可得 log ρ = 3 log T −2 log M + 常数，因此在 log ρ 对 log T 的图上，适用于质量为 M 的恒星的值将落在一条斜率为3的直线上，如图13.17所示。这就是恒星的质量轨迹。图中显示了等间距的代表性线条，对应的恒星质量分别为0.1M⊙、M⊙、10M⊙和100M⊙。（已知恒星演化过程中的质量损失非常重要，尤其是对于大质量恒星，但为简单起见，此图假设恒星质量保持不变。）
本章的大部分内容都可以在此图中得以概括。左侧是白矮星区域，在那里电子简并压与引力压相平衡。在这个区域上方，我们达到临界密度，此时简并电子达到相对论性速度，白矮星变得不稳定而坍缩成中子星。在右下方的区域，恒星内部的辐射压大于热压。当辐射压占主导地位时，恒星是不稳定的。这限制了恒星的质量大约不超过120M⊙。恒星质量轨迹所在的斜带就位于这两个极端之间。
图上的弯曲白线显示了各轮核聚变所需的温度和密度。最左边的曲线代表氢聚变。低温端对应于通过质子-质子链进行的能量产生，并显示出方程(13.59)所给出的温度依赖关系，其指数 n = 4。高温端则陡峭得多，对应于通过CNO循环进行的聚变，其温度依赖关系由方程(13.62)给出，指数 n = 18。当原恒星在引力作用下收缩时，其核心的压强-温度条件沿着相应的质量轨迹上升，直到它们到达氢聚变线，能量产生随之开始。在此后的整个主序星寿命期间，核心停留在这一点。当我们从核心向外穿过包层时，恒星内部的密度和温度沿着质量轨迹回归到图像的左下方。
当恒星耗尽核心的氢燃料时，核心收缩并沿质量轨迹进一步向右上方移动。此时轨迹的走向和恒星的命运取决于它的质量。低质量轨迹，例如0.1M⊙的轨迹，会接近

484
恒星
10
8
1 M
1 M
10 M
100 M
MCh
Mmax
0.1 M
Mmin
0.1 M
6
4
2
太阳
0
6
7
8
log [T(K)]
log [ (g cm–3)]
9
10
图13.17 密度-温度图。左上方的深灰色三角形区域是电子简并压与引力压平衡的区域。在该区域的顶部，白矮星变得不稳定并坍缩形成中子星。右下方黑色区域中，恒星因辐射压而不稳定。稳定恒星存在于这两个极端之间的对角线带上。

状态方程急剧硬化，方程(13.52)不再适用。这些轨迹弯曲进入白矮星区域，白矮星的恒星核心达到由电子简并压支撑的最大密度。然后它们在恒定密度下逐渐冷却，并向左水平移动。
随着一个太阳质量恒星的耗尽核心收缩，它沿着M⊙轨迹移动，直到与代表适合氦聚变条件的第二条弯曲白线相交。然后该核心停止收缩，直到氦燃料耗尽。当核心中氦在燃烧时，恒星外层某一壳层中的条件可能适合氢燃烧，此时质量轨迹与氢聚变线相交。当氦耗尽后，恒星再次沿着质量轨迹进入白矮星区域。

密度-温度图
485
红矮星
棕矮星
白矮星
白矮星
红巨星
红巨星
行星状星云
恒星摇篮
红矮星
棕矮星
恒星摇篮
II型超新星
超新星
类日恒星
黑洞
黑洞
超级壳层
原恒星
原恒星
原恒星
原恒星
II型超新星
IA型超新星
原恒星
原恒星
原恒星
蓝超巨星
蓝超巨星
蓝超巨星
蓝巨星
中子星
蓝超巨星
图13.18 恒星演化。
更大质量恒星的核心在较低密度下就能达到核聚变所需的温度。在其核心的氢和氦耗尽后，这些恒星沿着其质量轨迹前进，直到触发新一轮的核聚变。这类恒星除了核心的聚变外，还可能在多个壳层中燃烧核燃料。这些恒星的核心最终会达到不稳定状态，发生超新星爆炸，留下中子星或黑洞。不同质量恒星的最终命运如图13.18所示。

486
恒星
13.11
延伸阅读
关于恒星理论的入门介绍，参见
R.J. Tayler, 《恒星：结构与演化》(The Stars: Their Structure and Evolution) (第二版), 剑桥: CUP, 1994.
D. Prialnik, 《恒星结构与演化理论导论》(An Introduction to the Theory of Stellar Structure and Evolution) (第二版), 剑桥: CUP, 2010.
关于恒星和超新星中核合成的详尽论述，参见
D. Arnett, 《超新星与核合成：从大爆炸至今的物质史探究》(Supernovae and Nucleosynthesis: An Investigation of the History of Matter, from the Big Bang to the Present), 普林斯顿: PUP, 1996.
关于致密星（包括白矮星、中子星和黑洞）的全面综述，参见
M. Camenzind, 《天体物理学中的致密天体：白矮星、中子星与黑洞》(Compact Objects in Astrophysics: White Dwarfs, Neutron Stars and Black Holes), 柏林，海德堡: Springer, 2007.
关于超新星和伽马射线暴的阐述，参见
P. Podsiadlowski, 《行星、恒星与恒星系统中的超新星和伽马射线暴：第4卷，恒星结构与演化》(Supernovae and Gamma-Ray Bursts in Planets, Stars and Stellar Systems: Vol. 4, Stellar Structure and Evolution), T.D. Oswalt 和 M.A. Barstow 编, 第693-733页, 多德雷赫特: Springer, 2013.